NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!
Oblicz liczbę:
(a) permutacji zbioru 5-elementowego
(b) 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(c) 3-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego
(d) 3-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(e) 3-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.
Na ile sposobów można umieścić 3 różne kulki w 5 różnych szufladach, tak aby każda była w innej szufladzie.
Na ile sposobów można włożyć 20 jednakowych kul do 3 szuflad, tak aby w pierwszej było 11 kul w drugiej 5 a w trzeciej 4?
Oblicz liczbę kombinacji bez powtórzeń (symbol Newtona):
(a) \(\binom{3}{2}\)
(b) \(\binom{6}{6}\)
(c) \(\binom{49}{6}\)
(d) \(\binom{10}{1}\)
Ile jest możliwych wyników losowania dużego lotka?
Ile jest podzbiorów 2-elementowych zbioru {a,b,c,d}?
Tablica rejestracyjna zawiera 3 litery alfabetu liczącego 24 litery oraz 4 cyfry. Ile jest różnych tablic?
Na ile sposobów można utworzyć 3 pary spośród n osób?
W kolejce stoi 6 kobiet i 8 mężczyzn. Na ile sposobów można ustawić te osoby w kolejce:
(a) nie rozróżniając osób ze względu na płeć
(b) tak, aby kobiety stały przed mężczyznami
Załóżmy, że rok ma 365 dni. Na ile sposobów można utworzyć grupę n osób w której wszystkie osoby będą miały urodziny w różne dni?
n osób wita się poprzez uścisk dłoni każdy z każdym. Ile nastąpi powitań?
Ile jest rozmieszczeń elementów zbioru n-elementowego, w których:
(a) danych k-elementów stoi jeden obok drugiego (k elementów twrozy jeden blok)
(b) danych k-elementów nie stoi jeden obok drugiego (k elementów nie tworzy jednego zwartego bloku)
(c) żadne dwa elementy spośród danych k elementów nie stoją jeden obok drugiego
Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 5 tak, aby wśród kart była dokładnie jedna para.
Na ile sposobów można wybrać 4 karty z talii 52 kart tak, aby karty były w różnych kolorach?
Na Ile sposobów 7 osób jedących windą, w budynku mającym 10 pięter, może opuścić windę.
Na ile sposobów można ustawić w szeregu sześć kobiet i sześciu mężczyzn tak, aby żadne dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
Na ile sposobów można utworzyć 5 par spośród 10 osób?
Na ile sposobów można umieścić 4 różne kule w 8 urnach:
(a) tak aby każda była w innej urnie
(b) tak aby dwie kule były w tej samej urnie
Na ile sposobów można umieścić n różnych kul w n ponumerowanych urnach, tak aby:
(a) każda kula była w innej urnie
(b) dokładnie jedna urna była pusta
Na ile sposobów można umieścić k kul w n szufladach (\(k\leq n\)), przy założeniu, że:
(a) kule są rozróżnialne (ponumerowane)
(b) kule są rozróżnialne (ponumerowane) i każda kula ma być w innej szufladzie
(c) kule są identyczne (nierozróżnialne)
(d) kule są identyczne (nierozróżnialne) i każda kula ma być w innej szufladzie
Na ile sposobów można rozdać 10 identycznych pączków 15 osobom? Może się zdarzyć, że któraś osoba nie dostanie pączka.
Na ile sposobów można połączyć ze sobą za pomocą odcinków 7 punktów leżących na płaszczyźnie?
Ile przekątnych ma n-kąt foremny (wielokąt o n bokach)?
Wyznacz liczbę elementów zbioru, dla którego liczba 2-elementowych wariacji bez powtórzeń jest o 3 mniejsza niż liczba 2-elementowych wariacji z powtórzeniami.
Wykaż, że:
\(V_n^k=C_n^k\cdot P_k\)
gdzie \(V_n^k\) to k-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru n-elementowego, \(C_n^k\) to liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, a \(P_k\) to liczba permutacji zbioru k-elementowego.
Na konferencji spotkało się n osób i każda przywitała się z każdą przez podanie ręki. Ile osób było na konferencji jeśli nastąpiło 10 powitań.
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 6 kart. Na ile sposobów można wylosować zestaw kart, w którym będą 2 walety i 3 damy.
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 10 kart. Na ile sposobów można wylosować zestaw kart, w którym będą 3 walety i 4 damy.
Wykaż, że:
\(k\cdot \binom{n}{k}=n\cdot \binom{n-1}{k-1}\)
Na ile sposobów można wybrać z 20-osobowej klasy:
(a) delegację złożoną z 3 osoób
(b) przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika
Dla zbioru \(\{a,b,c\}\) wypisać wszystkie:
(a) permutacje
(b) wariacje bez powtórzeń
(c) wariacje z powtórzeniami
(d) kombinacje bez powtórzeń
(e) kombinacje z powtórzeniami
Wyznacz liczbę elementów zbioru A, dla którego liczba permutacji jest 15 razy mniejsza niż liczba permutacji zbioru do którego dodano jeden element
Wykaż, że:
\(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\)
W turnieju startuje 12 osób. Każdy zawodnik rozgrywa 2 mecze z każdym ze swoich przeciwników. Ile meczy zostanie rozegranych?
Z talii 52 kart wybrano 6 kart wśród których były cztery asy i dokładnie jeden król. Na ile sposobów mozna dokonac takiego wyboru?
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\).
Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając symetryczną kostką do gry otrzymamy parzystą liczbę oczek.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając dwukrotnie symetryczną kostką do gry otrzymamy dwa razy liczbę 6.
W teleturnieju gracz ma wybór między 3 bramkami. W jednej z bramek jest samochód, w pozostałych dwóch są koty w worku. Prowadzący teleturniej wie, w której bramce jest samochód. Gracz wskazuje jedną z bramek, wtedy prowadzący otwiera jedną z pozostałych dwóch bramek, tą w której jest kot w worku. Prowadzący pyta gracza, czy chce zmienić bramkę. Gracz wygrywa, gdy wskaże bramkę, która kryje samochód. Załóżmy, że gracz na początku gry wybrał bramkę nr 1, a prowadzący otworzył bramkę nr 3 z kotem w worku. Czy graczowi opłaca się zmienić wybór i wskazać bramkę nr 2? Uzasadnij odpowiedź obliczając odpowiednie prawdopodobieństwa.
Rzucamy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe otrzymania liczby oczek większej od 3 pod warunkiem, że liczba oczek jest parzysta.
W urnie jest 11 kul białych, 10 kul czarnych i 9 kul niebieskich. Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa oblicz:
(a) prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej
(b) prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej
(c) prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej lub czarnej
Z talii 52 kart losowo wybieramy 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie karty będą czarne.
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 kart w różnych kolorach z talii 52 kart?
Mamy dwie kostki go gry, z których jedna jest idealnie symetryczna i wyważona, tak, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Druga kostka jest krzywa, tak, że prawdopodobieństwo wyrzucenia na niej 6 wynosi \(\frac{1}{5}\). Losowo wybrano jedną z dwóch kostek i wykonano nią dwa rzuty otrzymując dwie szóstki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucano krzywą kostką?
Pewna rodzina ma dwójkę dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie dzieci są chłopcami pod warunkiem, że przynajmniej jedno dziecko jest chłopcem.
W urnie jest 9 kul: 4 białe i 5 czarnych. Wybieramy losowo bez zwracania 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo warunkowe tego, że druga wylosowana kula będzie czarna pod warunkiem, że pierwsza wylosowana kula była biała
Mamy zbiór \(n\in\mathbb{N}\) elementów, wśród których \(m\leq n\) ma cechę C. Wybieramy losowo 2 elementy. Wyznacz prawdopodobieństwo, że oba wylosowane elementy będą miały cechę C, gdy:
(a) losujemy elementy bez zwracania
(b) losujemy elementy ze zwracaniem (losujemy pierwszy, zapisujemy czy ma cechę C i wrzucamy do urny)
Podaj przykład doświadczenia losowego, w którym przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\Omega\) jest:
(a) skończona
(b) przeliczalna
(c) nieprzeliczalna
W urnie jest 9 kul: 4 białe i 5 czarnych. Wybieramy losowo 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, gdy:
(a) losujemy kule bez zwracania
(b) losujemy kule ze zwracaniem (losujemy pierwszą, zapisujemy jaki ma kolor i wrzucamy do urny)
Jesteś w dziale Rachunek prawdopodobieństwa zadania z rozwiązaniami
W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań z rachunku prawdopodobieństwa, w tym z zakresu kombinatoryki (permutacje, wariacje bez i z powtórzeniami), obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, zmiennych losowych (rozkład prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana i wariancja) oraz funkcji charakterystycznej zmiennej losowej.
Zadania rozwiązane są krok po kroku, a we wskazówkach znajdziesz potrzebne wzory, definicje i wyjaśnienia. Pod każdym rozwiązaniem zadania możesz dodać swój komentarz, w którym możesz zapytać o jakiś fragment rozwiązania. Dzięki temu masz możliwość wyjaśnienia wszystkich wątpliwości i problemów.
Start