Start 
Na ile sposobów można umieścić 3 różne kulki w 5 różnych szufladach, tak aby każda była w innej szufladzie
Rozwiązanie
Każdej z 3 kul musimy przyporządkować jedną z 5 szuflad. Kule są różne, więc możemy je ponumerować od 1 do 3 a urny od 1 do 5.
Matematycznie możemy opisać to za pomocą ciągów 3 liczb (które oznaczają numery kul), z których każda jest z przedziału od 1 do 5 (oznaczających numery szuflad), np. ciąg:
\[(1,4,5)\]
oznacza, że kula o numerze 1 jest w szufladzie o numerze 1, druga kulka jest w 4 szufladzie, a trzecia w 5 szufladzie.
Pierwszą kulkę można włożyć do jednej z 5 szuflad na 5 sposobów.
Druga kulka nie może się znaleźć w tej samej szufladzie co pierwsza, dlatego drugą kulkę możemy umieścić w jednej z 4 pozostałych szuflad na 4 sposoby.
Trzecia kulka nie może znaleźć się w tej samej szufladzie co pierwsza i co druga kulka, dlatego trzecią kulkę możemy umieścić w jednej z 3 pozostałych szuflad na 3 sposoby.
Zatem 3 kulki możemy włożyć do 5 szuflad, tak aby każda była w innej szufladzie, na:
\[5\cdot 4\cdot 3=60\]
sposobów.
Zadanie można rozwiązać też korzystając ze wzoru na 3-elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego:
\[V_5^3=5\cdot 5\cdot ... \cdot 3=60\]
Wzór na wariacje bez powtórzeń można zastosować dzięki założeniu o rozróżnialności kul.
Wskazówki
Reguła mnożenia
Jeżeli jakąś czynność da się podzielić na \(n\) etapów (np. 2, 3 itd.) oraz i-ty (gdzie \(i=1,2,...,n\)) etap można wykonać na \(k_i\) sposobów,
to całą czynność można wykonać na:
\[k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_n=\prod\limits_{i=1}^n k_i\]
sposobów.
W rozwiązaniu zadania stosujemy regułę mnożenia, ponieważ wkładanie kul do szuflad przebiega w trzech etapach:
Etap I - wybieramy jedną z 5 szuflad na 5 sposobw
Etap II - wybieramy drugą szufladę inną niż pierwsza, czyli jedną z 4 szuflad na 4 sposoby
Etap III - wybieramy trzecią szufladę inną niż wcześniej wybrane, czyli wybieramy jedną z 3 szuflad na 3 sposoby
Dlatego właśnie mamy \(5\cdot 4\cdot 3=60\) sposobów wyboru szuflad.
Wariacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N}\):
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1),\,\,k\geq 0,\,n\geq 1\]
gdzie:
\[n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n\]
Komentarzy (0)