W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na ile sposobów można włożyć 20 kul do 3 szuflad, tak aby w pierwszej było 11 kul w drugiej 5 a w trzeciej 4?

Rozwiązanie

Do pierwszej szuflady mamy włożyć 11 kul, możemy to zrobić na:

\[\binom{20}{11}=\frac{20!}{11!\cdot 9!}\]

Po włożeniu 11 kul do pierwszej szuflady zostaje nam 20-11=9 kul.

Do drugiej szuflady mamy włożyć 5 kul z 9 które nam zostały, możemy to zrobić na:

\[\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!\cdot 4!}\]

Po włożeniu 5 kul do drugiej szuflady zostaje nam 9-5=4 kule. 

Do trzeciej szuflady mamy włożyć 4 kule z 4 które nam zostały. Nie mamy wyboru i wkładamy wszystkie, które nam zostały - możemy to zrobić tylko na 1 sposób.

Ostatecznie wszystkie kule możemy rozmieścić w szufladach na:

\[\binom{20}{11}\cdot \binom{9}{5}\cdot 1=\frac{20!}{11!\cdot 9!}\cdot \frac{9!}{5!\cdot 4!}=\]

\[=\frac{\not{12}\cdot 13\cdot 14\cdot \not{15}\cdot \not{16}\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{(1\cdot \not{2}\cdot \not{3}\cdot \not{4}\cdot \not{5})\cdot (1\cdot \not{2}\cdot \not{3}\cdot \not{4})}=13\cdot 14\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20=21162960\]

sposobów.

Wskazówki

Reguła mnożenia

Jeżeli jakąś czynność da się podzielić na \(n\) etapów (np. 2, 3 itd.) oraz i-ty (gdzie \(i=1,2,...,n\)) etap można wykonać na \(k_i\) sposobów,

to całą czynność można wykonać na:

\[k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_n=\prod\limits_{i=1}^n k_i\]

sposobów.

W rozwiązaniu zadania stosujemy regułę mnożenia, ponieważ wkładanie kul do szuflad przebiega w trzech etapach:

Etap I - spośród 20 kul wybieramy 11 kul, które włożymy do pierwszej szuflady

Etap II - spośród 9 kul, które zostały, wybieramy 5, które wkładamy do drugiej szuflady

Etap III - do trzeciej szuflady wkładamy 4 pozostałe kule

Dlatego właśnie mamy \(\binom{20}{11}\cdot \binom{9}{5}\cdot 1=21162960\) sposobów rozmieszczenia kul w trzech szufladach.

Komentarzy (0)