Start 
Na ile sposobów można włożyć 20 jednakowych kul do 3 szuflad, tak aby w pierwszej było 11 kul w drugiej 5 a w trzeciej 4?
Rozwiązanie
Kule są nierozróżnialne, więc kolejność wkładania do szuflad nie ma znaczenia - należy więc zastosować kombinacje bez powtórzeń.
Do pierwszej szuflady mamy włożyć 11 kul, możemy to zrobić na:
\[\binom{20}{11}=\frac{20!}{11!\cdot 9!}\]
sposobów.
Powyżej korzystamy ze wzoru na kombinacje bez powtórzeń - symbol Newtona (kombinacje 11-elementowe zbioru 20-elementowego):
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
Po włożeniu 11 kul do pierwszej szuflady zostaje nam 20-11=9 kul.
Do drugiej szuflady mamy włożyć 5 kul z 9 które nam zostały, możemy to zrobić na:
\[\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!\cdot 4!}\]
sposobów. Ponownie skorzystaliśmy z kombinacji bez powtórzeń (ponieważ kule są nierozróżnialne).
Po włożeniu 5 kul do drugiej szuflady zostaje nam 9-5=4 kule.
Do trzeciej szuflady mamy włożyć 4 kule z 4 które nam zostały. Nie mamy wyboru i wkładamy wszystkie, które nam zostały - możemy to zrobić tylko na 1 sposób.
Ostatecznie wszystkie kule możemy rozmieścić w szufladach na:
\[\binom{20}{11}\cdot \binom{9}{5}\cdot 1=\frac{20!}{11!\cdot 9!}\cdot \frac{9!}{5!\cdot 4!}=\]
\[=\frac{\not{12}\cdot 13\cdot 14\cdot \not{15}\cdot \not{16}\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{(1\cdot \not{2}\cdot \not{3}\cdot \not{4}\cdot \not{5})\cdot (1\cdot \not{2}\cdot \not{3}\cdot \not{4})}=13\cdot 14\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20=21162960\]
sposobów.
Wskazówki
Kombinacje bez powtórzeń
to liczba unikalnych k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Do obliczania ilości kombinacji bez powtórzeń (kombinacje k-elementowe zbioru n-elementowego) stosujemy symbol Newtona:
\[C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
gdzie \(n!\) oznacza silnię, czyli:
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots \cdot (n-1)\cdot n\]
Reguła mnożenia
Jeżeli jakąś czynność da się podzielić na \(n\) etapów (np. 2, 3 itd.) oraz i-ty (gdzie \(i=1,2,...,n\)) etap można wykonać na \(k_i\) sposobów,
to całą czynność można wykonać na:
\[k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_n=\prod\limits_{i=1}^n k_i\]
sposobów.
W rozwiązaniu zadania stosujemy regułę mnożenia, ponieważ wkładanie kul do szuflad przebiega w trzech etapach:
Etap I - spośród 20 kul wybieramy 11 kul, które włożymy do pierwszej szuflady
Etap II - spośród 9 kul, które zostały, wybieramy 5, które wkładamy do drugiej szuflady
Etap III - do trzeciej szuflady wkładamy 4 pozostałe kule
Dlatego właśnie mamy \(\binom{20}{11}\cdot \binom{9}{5}\cdot 1=21162960\) sposobów rozmieszczenia kul w trzech szufladach.
Komentarzy (0)