Start
Szeregi liczbowe - podstawowe wzory i własności
1. Co to jest szereg liczbowy?
Materiał z szeregów liczbowych jest mocno związany z ciągami liczbowymi, dlatego warto najpierw dobrze opanować, np. pojęcie granicy ciągu.
Szereg liczbowy to nieskończona suma liczb:
Przykład 1
Nieskończona suma kolejnych liczb naturalnych:
\[1+2+3+4+5\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty n\]
Przykład 2
Nieskończona suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych:
\[1+4+9+16+25\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\]
Przykład 3
Nieskończona suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych:
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]
Szereg liczbowy o wyrazach \(a_n\):
\[a_1+a_2+a_3\,+\,...\]
oznaczamy symbolem:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\]
CIEKAWOSTKI: Szeregi liczbowe, oprócz całek, pochodnych i granic funkcji, stanowią jeden z działów analizy matematycznej. Szeregi nieskończone stosuje się np. do przybliżania funkcji, do rozwiązywania skomplikowanych równań, które opisują różne zjawiska fizyczne oraz do kompresji obrazu (jpeg) i dzwięku.
1.1. Ciąg sum częściowych szeregu
Ciągiem sum częściowych szeregu liczbowego nazywamy ciąg liczbowy \(S_k\): \[S_k=\sum\limits_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,+\,a_k\]
Ciąg sum częściowych szeregu jest sumą \(k\) pierwszych wyrazów ciągu \(a_n\) (\(k\) pierwszych składników szeregu):
\(S_1\) jest równe pierwszemu wyrazowi:
\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 a_n=a_1\]
\(S_2\) jest równe sumie pierwszych dwóch wyrazów ciągu:
\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 a_n=a_1+a_2\]
\(S_3\) jest równe sumie pierwszych trzech wyrazów ciągu:
\[S_3=\sum\limits_{n=1}^3 a_n=a_1+a_2+a_3\]
\[\vdots\]
\(S_6\) jest równe sumie pierwszych sześciu wyrazów ciągu:
\[S_6=\sum\limits_{n=1}^6 a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\]
Zanim przejdziemy do przykładu zauważ, że:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\lim\limits_{k\to \infty}\sum\limits_{n=1}^k a_n=\lim\limits_{n\to \infty} S_k\]
Przykład
Wypiszmy sumy częściowe szeregu:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]
\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]
\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1+2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]
\[\vdots\]
\[S_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\,+\,...\,+\,\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]
2. Zbieżność szeregów liczbowych
Badanie zbieżności jest najczęstszym tematem zadań z szeregów liczbowych.
2.1. Szeregi zbieżne, bezwzględnie i warunkowo zbieżne
Szereg liczbowy jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych \(S_k\) jest zbieżny (ma granicę skończoną), tzn. \[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=S\]wtedy: \[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,=\lim\limits_{k\to \infty}S_k=S<\infty\]
Przykład 1
Szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]
jest zbieżny, ponieważ:
\[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=\lim\limits_{k\to \infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=1-0=1\]
Zatem:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1<\infty\]
Przykład 2
Rozważmy szereg geometryczny (gdzie \(|q|<1\)):
\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\]
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy:
\[S_k=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,+\,q^k=\frac{1-q^n}{1-q}\]
ponadto dla \(|q|<1\):
\[\lim\limits_{k\to\infty}q^k=0\]
Zatem:
\[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1-q^k}{1-q}=\frac{1}{1-q}<\infty\]
Co oznacza, że szereg geometryczny jest zbieżny:
\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,=\frac{1}{1-q}<\infty\]
Poniżej poznasz jeszcze dwa ważne pojęcia związane ze zbieżnością szeregów liczbowych.
Mówimy, że szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg (z wartością bezwzględną):\[\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|<\infty\]
Zwróć uwagę, że:
Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
Mówimy, że szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) jest warunkowo zbieżny, gdy jest on zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny.
Przykład 1
Wszystkie szeregi zbieżne o wyrazach dodatnich są bezwzględnie zbieżne, np.
\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\left(\frac{1}{4}\right)^n\right|=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n<\infty\]
Przykład 2
Szereg naprzemienny:
\[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}<\infty\]
jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg:
\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n}=+\infty\]
jest rozbieżny.
2.2. Warunek konieczny zbieżności szeregów
jest to warunek, który spełnia każdy szereg zbieżny.
Jeżeli szereg liczbowy:\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]jest zbieżny, to:\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\]
UWAGA 1: Powyższy warunek konieczny zbieżnośći można równoważnie sformułować następująco:
Jeżeli\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n\neq 0\]to szereg liczbowy:\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]jest rozbieżny.
Druga wersja jest użyteczna w konkretnych zadaniach do sprawdzania zbieżności szeregów. Szczególnie, gdy chcemy wykazać, że dany szereg jest rozbieżny.
Przykład
Pokażemy, że suma wszystkich liczb naturalnych stanowi szereg rozbieżny:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty n\]
Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu:
\[\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty\neq 0\]
Warunek konieczny nie jest spełniony, zatem szereg liczbowy jest rozbieżny.
UWAGA 2: Zauważ, że warunek \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\) nie oznacza wcale, że szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny. Warunek konieczny pomaga jedynie w stwierdzeniu, że szereg jest rozbieżny!
2.3. Szeregi rozbieżne
Szereg liczbowy jest rozbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych jest rozbieżny. Innymi słowy szereg jest rozbieżny, po prostu gdy nie jest zbieżny ;-)
Piszemy wtedy:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\infty\]
Przykład
Szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty n\]
jest rozbieżny, ponieważ jest sumą kolejnych liczb naturalnych:
\[\lim\limits_{k\to +\infty} S_k=\lim\limits_{k\to +\infty}(1+2+...+k)=\lim\limits_{k\to +\infty} \frac{k(k+1)}{2}=+\infty\]
Powyżej skorzystaliśmy ze wzoru na sumę \(k\) kolejnych liczb naturalnych.
Ostatecznie:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty n=+\infty\]
2.4. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych
Szeregi zbieżne
Szereg geometryczny jest zbieżny:
\[1+q+q^2+q^3\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n<\infty,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|q|<1\]
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]
Szereg harmoniczny rzędu \(\alpha\) jest zbieżny dla \(\alpha>1\):
\[1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}}<\infty,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\alpha>1\]
Szereg harmoniczny rzędu \(2\) jest zbieżny:
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty\]
Szeregi rozbieżne
Szereg harmoniczny jest rozbieżny:
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\]
Szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n=\infty\) jest rozbieżny, gdy \(a_n\) jest ciągiem rozbieżnym lub zbieżnym do liczby różnej od zera:
\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n \neq 0\]
Szereg (nieskończona suma) liczb rzeczywistych jest rozbieżny (\(a_n=a\) jest ciągiem stałym, zbieżnym do liczby \(a\)):
\[a+a+a\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty a=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,a\neq 0\]
Szereg (nieskończona suma) jedynek jest rozbieżny (\(a_n=1\) jest ciągiem stałym, zbieżnym do liczby 1):
\[1+1+1\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty 1=\infty\]
Szereg potęg liczby \(n\) jest rozbieżny dla \(a\ge 0\) (\(a_n=n^a\) jest ciągiem potęgowym, rosnącym i rozbieżnym):
\[1+2^a+3^a\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty n^a=\infty\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,a\ge 0\]
Suma kolejnych liczb naturalnych stanowi szereg rozbieżny (\(a_n=n\) jest ciągiem rosnącym i rozbieżnym):
\[0+1+2+3+4\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty n=\infty\]
Suma logarytmów kolejnych liczb naturalnych (\(a_n=\ln(n)\) jest ciągiem rosnącym i rozbieżnym):
\[\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \ln(n)=\infty\]
2.5. Działania na szeregach zbieżnych
Można zadać pytanie, czy odawanie/odejmowanie szeregów i mnożenie szeregu przez liczbę wpływa na zbieżność. Okazuje się, że operacje te "zachowują" zbieżność:
Jeżeli szeregi \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) i \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) są zbieżne oraz \(\lambda\in\mathbb{R}\), to:
suma szeregów jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\]różnica szeregów jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n-b_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n-\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\]iloczyn szeregu przez liczbę jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda \cdot a_n=\lambda\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]
Przykład
Korzystając z tego, że suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym oraz mnożenie przez liczbę nie wpływa na zbieżność, mamy:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n}{n^4}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=2\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}<\infty\]
Oznacza to, że nasz szereg jest zbieżny.
3. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych
są to twierdzenia matematyczne, które pomagają w badaniu zbieżności szeregów liczbowych.
3.1. Kryterium porównawcze
jest jednym z najczęściej stosowanych kryteriów zbieżności, jednocześnie jest chyba najbardziej naturalne i intuicyjne.
Idea kryterium porównawczego polega na porównaniu szeregu liczbowego, którego zbieżność chcemy określić, z innym szeregiem liczbowym, którego zbieżność znamy. Oto dokładne sformułowanie kryterium:
Niech \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) i \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) będą szeregami liczbowymi o wyrazach nieujemnych.
Jeżeli dla \(n>n_0\) (dla prawie wszystkich n)\[0\le a_n\le b_n\]to:
(a) ze zbieżności szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) wynika zbieżność szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)
(b) z rozbieżności szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) wynika rozbieżność szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\)
Przykład
Korzystając z kryterium porównawczego wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\]
jest zbieżny.
Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), mamy:
\[0\le \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\le \frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\]
ponieważ \(\sin(x)\in[-1,1]\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Wiemy, że geometryczny szereg liczbowy jest zbieżny:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]
Zatem na mocy kryterium porównawczego nasz szereg jest także zbieżny.
3.2. Kryterium ilorazowe
jest używane w podobnych sytuacjach, jak kryterium porównawcze, tzn. gdy potrafimy określić jakiś szereg zbieżny, dla którego \(0<\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty\).
Oto dokładne sformułowanie kryterium ilorazowego:
Niech \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) i \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) będą szeregami liczbowymi o wyrazach nieujemnych.
(1) Jeżeli \(0<\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}<\infty,\) to:
(a) ze zbieżności jednego szeregu wynika zbieżność drugiego szeregu
(b) z rozbieżności jednego szeregu wynika rozbieżność drugiego szeregu
(2) Jeżeli \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0,\) to:
ze zbieżności jednego szeregu wynika zbieżność drugiego szeregu
(3) Jeżeli \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty,\) to:
z rozbieżności jednego szeregu wynika rozbieżność drugiego szeregu
Przykład
Korzystając z kryterium ilorazowego wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n+1}{n^4+n+2}\]
jest zbieżny.
Przyjmijmy w kryterium ilorazowym
\[a_n=\frac{3n+1}{n^4+n+2},\,\,\,b_n=\frac{1}{n^3}\]
Mamy:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{3n+1}{n^4+n+2}}{\frac{1}{n^3}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{3n^4+n^3}{n^4+n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^4\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n^4\left(1+\frac{1}{n^3}+\frac{2}{n^4}\right)}=3\]
Wynik granicy który otrzymaliśmy spełnia nierówność \(0<3<\infty\), ponadto szereg liczbowy:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty b_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}<\infty\]
jest zbieżny jako szereg postaci:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}<\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>1\]
Zatem na mocy kryterium ilorazowego nasz szereg jest również zbieżny.
3.3. Kryterium Cauchy'ego
Idea tego kryterium polega na obliczeniu granicy z pierwiastka n-tego stopnia z ciągu \(a_n\) i porównaniu wyniku z jedynką. Kryterium to najczęściej wykorzystuje się w przypadku szeregów, w których występuje n-ta potęga.
Oto dokładne sformułowanie kryterium Cauchy'ego:
Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest:
(a) zbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}<1\](b) rozbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}>1\]
UWAGA: Gdy \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1\), to kryterium Cauchyego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu. Trzeba wtedy zastosować inne metody.
Przykład
Korzystając z kryterium Cauchyego wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\]
jest zbieżny. Mamy:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}=\frac{\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}}{2}=\frac{1}{2}<1\]
Zatem na mocy kryterium Cauchyego nasz szereg jest zbieżny.
3.4. Kryterium d'Alemberta
Idea tego kryterium polega na obliczeniu granicy z modułu ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) i porównaniu wyniku z liczbą 1. Kryterium d'Alemberta stosuje się najczęściej w przypadku szeregów, w których występuje \(n!\).
Oto dokładne sformułowanie kryterium d'Alemberta:
Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest:
(a) zbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\](b) rozbieżny, gdy\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1\]
UWAGA: Gdy \(\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\), to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu. Trzeba wtedy zastosować inne sposoby sprawdzania zbieżności.
Przykład
Korzystając z kryterium d'Alemberta wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\]
jest zbieżny. Mamy:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{n!}{n^n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\frac{n^n}{n!}=\]
\[=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}<1\]
Zatem na mocy kryterium d'Alemberta nasz szereg jest zbieżny.
3.5. Kryterium całkowe
Idea tego kryterium polega na określeniu zbieżności całki niewłaściwej, która związana jest z szeregiem liczbowym.
Oto dokładne sformułowanie kryterium całkowego:
Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\), gdzie \(a_n=f(n)\) i \(f(x)\) jest funkcją malejącą
jest zbieżny (rozbieżny), gdy zbieżna (rozbieżna) jest całka niewłaściwa\[\int\limits_a^\infty f(x)\,dx\]
UWAGA: Dolną granicę całkowania \(a\) wybieramy tak, żeby funkcja \(f(x)\) w przedziale \((a,+\infty)\) była określona (dziedzina funkcji zawiera ten przedział) i nie miała punktów nieciągłości.
Przykład
Korzystając z kryterium całkowego wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]
jest rozbieżny.
Mamy \(a_n=f(n)=\frac{1}{n}\) i funkcja \(f(x)=\frac{1}{x}\) jest malejąca i ciągła w przedziale \((1,+\infty)\), co więcej:
\[\int\limits_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to \infty}\int\limits_{1}^T \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to \infty}\left(\ln T-\ln 1\right)=+\infty\]
Całka niewłaściwa jest rozbieżna, a zatem na mocy kryterium całkowego nasz szereg jest rozbieżny.
3.6. Kryterium Leibniza
jest kryterium, które możemy stosować do określania zbieżności szeregów naprzemiennych.
Oto dokładne sformułowanie kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg liczbowy \(a_n\) spełnia dwa warunki:
(a) \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\)
(b) ciąg \(a_n\) jest nierosnący
to szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) jest zbieżny.
Przykład
Korzystając z kryterium Leibniza wykażemy, że szereg:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\]
jest zbieżny.
Zauważmy, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest malejący oraz
\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]
Zatem na mocy kryterium Leibniza nasz szereg jest zbieżny.
3.7. Kryterium Abela
jest kryterium, które możemy stosować do określania zbieżności szeregów, których wyrazy są równe iloczynowi ciągu zbieżnego oraz monotonicznego i ograniczonego.
Oto dokładne sformułowanie kryterium Abela:
Jeżeli szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny,
oraz ciąg liczbowy \(b_n\) jest monotoniczny i ograniczony,
to szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n\) jest zbieżny.
4. Jak sprawdzić zbieżność szeregu liczbowego w wolframalpha.com?
Na stronie wolframalpha.com możesz łatwo i szybko sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny. Wystarczy wpisać komendę:
"sum" wzór na wyrazy szeregu, zakres sumowania (np. n=1 to infinity oznacza, że sumujemy od 1 do nieskończoności \(+\infty\))
Oto przykład jak sprawdzić zbieżność i obliczyć sumę szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\), wystarczy wpisać w kalkulatorze wolframa:
Inne przykłady:
Sumę szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{sin(n)}{n!}\) obliczymy wpisując:
sum sin(n)/n!, n=1 to infinity
Sumę szeregu \(\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n\) obliczymy wpisując:
sum (1/2)^n, n=0 to infinity
Zbieżność oraz sumę szeregu możesz sprawdzić również w kalkulatorze szeregów liczbowych mojego autorstwa.
5. Sprawdź swoją wiedzę o szeregach liczbowych - zadania kontrolne
1. Dla jakich wartości \(q\) szereg liczbowy jest zbieżny:
\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\]
2. Dla jakich wartości \(p\) szereg liczbowy jest zbieżny:
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\]
Zrób kolejny krok i ucz się szeregów liczbowych na przykładach
Komentarzy (2)