Start Liczby zespolone - podstawowe wzory i własności
1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraiczna
Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:
\[z=x+yi\]
gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi), a "\(i\)" jest tzw. jednostką urojoną; liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):
\(i^2=-1\)
Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, innymi słowy zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) stanowi podzbiór liczb zespolonych, który oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\), tj. \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).
Przykłady liczb zespolonych
\[0=0+0i\]
\[-2=-2+0i\]
\[2+3i\]
\[\sqrt{2}-5i\]
CIEKAWOSTKA: Liczby zespolone, choć wydają się dziwnym tworem szalonego matematyka, mają ogromne zastosowania w wielu dziedzinach, np. w inżynierii elektrycznej, chemii, fizyce, medycynie, teorii sterowania. Pierwiastek z liczby ujemnej nie jest pomysłem pozbawionym logiki, ponieważ pozwala wykonać wiele ważnych obliczeń, których wynik jest "normalną" liczbą rzeczywistą. Liczby zespolone są, orócz macierzy i wyznaczników, jednym z podstawowych działów algebry liniowej.
2. Część rzeczywista i urojona
Koniecznie zapamiętaj dwa pojęcia związane z liczbami zespolonymi.
Część rzeczywistą liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(Re(z)\) oraz\[Re(z)=x\]Natomiast część urojoną liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy przez \(Im(z)\) oraz
\[Im(z)=y\]
Przykład 1
Częścią rzeczywistą liczby \(2+i\) jest 2, a częścią urojoną jest 1, możesz to zapisać następująco:
\[Re(2+i)=2\]
\[Im(2+i)=1\]
Przykład 2
Część rzeczywista każdej liczby rzeczywistej jest równa tej liczbie, a część urojona liczby rzeczywistej jest równa zero:
\[Re(-5)=-5\]
\[Im(-5)=0\]
Przykład 3
Część rzeczywista każdej liczby czysto urojonej jest równa zero, a część urojona jest równa liczbie stojącej obok "\(i\)"
\[Re(-2i)=0\]
\[Im(-2i)=-2\]
Przykład 4
\[Re(x-y+2xi)=x-y\]
\[Im(x-y+2xi)=2x\]
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną, moduł, argument i sprzężenie oraz postać trygonometryczną liczby zespolonej w kalkulatorze liczb zespolonych mojego autorstwa.
3. Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?
Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:
\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]
Przykład 1
Przykład liczb zespolonych, które nie są sobie równe:
\[2+5i\neq 5+2i\]ponieważ ich części rzeczywiste i urojone nie są równe
Przykład 2
Równość liczb zespolonych wykorzystywana jest bardzo często przy rozwiązywaniu równań zespolonych, oto przykład:
\[z^2=i\]\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]
Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:
\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,(x,y\in\mathbb{R})\]
\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]
Działania na liczbach zespolonych
4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych
Liczby zespolone dodajemy (odejmujemy) poprzez dodanie (odjęcie) osobno części rzeczywistych i urojonych, podobnie jak przy dodawaniu/odejmowaniu wielomianów tj. \(a+bx+c+dx=(a+c)+(b+d)x\).
Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to
\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\]
\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\]
Przykład 1
\[i+2i=3i\]
Przykład 2
\[2+i+3-\sqrt{3}i=5+(1-\sqrt{3})i\]
Przykład 3
\[\frac{1}{2}+i-\left(2+\frac{1}{2}i\right)=\left(\frac{1}{2}-2\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)i=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\]
Zauważ, że część rzeczywista sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą części rzeczywistych:\[Re\left(z_1\pm z_2\right)=x_1\pm x_2\]
Podobnie część urojona jest sumą/różnicą części urojonych:\[Im\left(z_1\pm z_2\right)=y_1\pm y_2\]
5. Mnożenie liczb zespolonych
Liczby zespolone mnożymy podobnie jak wykonuje się mnożenie wielomianów tj. \((a+bx)(c+dx)=ac+adx+bcx+bdx^2\). Dodatkowo pamiętamy, że \(i^2=-1\).
Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to
\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]
\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\]
Przykład 1
\[i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\]
Przykład 2
\[(3-\sqrt{2}i)(-1-i)=-3-3i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=-(3+\sqrt{2})-(3+\sqrt{2})i\]
Zauważ, że część rzeczywista iloczynu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 x_2-y_1y_2\]
Natomiast część urojona iloczynu to:\[Im\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 y_2+y_1 x_2\]
6. Dzielenie liczb zespolonych
Dzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych. Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).
Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]
\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]
Przykład 1
\[\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{(-i)}{(-i)}=\frac{-i}{-i^2}=-i\]
Przykład 2
\[\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]
Przykład 3
\[\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}\cdot \frac{(x-yi)}{(x-yi)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\]
Sprawdź wynik w kalkulatorze dzielenia liczb zespolonych.
Zauważ, że część rzeczywista ilorazu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]
Natomiast część urojona ilorazu to:\[Im\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]
Kliknij i zobacz więcej przykładów działań na liczbach zespolonych
7. Sprzężenie liczby zespolonej
Sprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(\overline{z}\):
\[\overline{z}=x-yi\]
Przykład 1
\[\overline{1+i}=1-i\]
Przykład 2
\[\overline{5-2i}=5+2i\]
Przykład 3
\[\overline{(-i)}=i\]
Przykład 4
\[\overline{1}=1\]
Część rzeczywista sprzężenia \(\overline{z}\) jest taka sama jak część rzeczywista liczby \(z\), natomiast część urojona sprzężenia \(\overline{z}\) jest liczbą przeciwną do części urojonej liczby \(z\):
\[Re(\overline{z})=Re(z)\]\[Im(\overline{z})=-Im(z)\]
Zapamiętaj najważniejsze własności sprzężenia
Sprzężenie sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą sprzężenień:\[\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}\]Sprzężenie iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem sprzężenień:\[\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\] Sprzężenie ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem sprzężeń:\[\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]
8. Moduł liczby zespolonej
Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(|z|\):
\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Moduł liczby zespolonej \(z\) jest liczbą rzeczywistą nieujemną (\(|z|\ge 0\)), co więcej interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.
Przykład 1
\[|1|=|1+0i|=\sqrt{1^2+0^2}=1\]
Przykład 2
\[|-2i|=|0-2i|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2\]
Przykład 3
\[|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]
Zapamiętaj najważniejsze własności modułu zespolonego
Moduł każdej liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą nieujemną:\[|z|\ge 0\]Moduł liczby \(z\) jest równy modułowi jej sprzężenia i liczby przeciwnej:\[|z|=|\overline{z}|=|-z|\]Kwadrat modułu liczby \(z\) jest równy iloczynowi liczby \(z\) i jej sprzężenia:\[|z|^2=z\cdot \overline{z}\]Moduł iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem modułów:\[|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\]Moduł ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem modułów:\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]Moduł potęgi liczby zespolonej jest równy potędze modułu:\[|z^n|=|z|^n\]
Na stronie wolframalpha.com możesz łatwo i szybko sprawdzić jaki jest moduł i argument liczby zespolonej. Wystarczy po prostu wpisać w odpowiednim polu liczbę zespoloną dla której chcesz obliczyć moduł i argument (zobacz przykład tutaj)
Możesz też użyć kalkulatora liczb zespolonych.
9. Argument główny liczby zespolonej
to kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).
Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy
\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)<2\pi\), jednak możesz spotkać się też z warunkiem: \(-\pi< \arg(z)\le \pi\) (oba założenia są równoważne - argumenty liczb zespolonych zataczają okrąg, czyli \(360^o\) lub \(2\pi\)).
Przykłady
\[\arg(0)=\arg(1)=0\]
\[\arg(1+i)=\arg(2+2i)=\frac{\pi}{4}\]
\[\arg(i)=\arg(5i)=\frac{\pi}{2}\]
\[\arg(-1+i)=\arg(-3+3i)=\frac{3\pi}{4}\]
\[\arg(-1)=\arg(-20)=\pi\]
\[\arg(-i)=\arg(-\sqrt{2}i)=\frac{3}{2}\pi\]
Argumenty liczb zespolonych, które najczęściej spotkasz w zadaniach:
\(\arg\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{\pi}{6}\) | \(\arg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\frac{\pi}{4}\) |
\(\arg\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\) | \(\arg(i)=2\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) |
| \(\arg\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=4\cdot\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\pi}{3}\) | \(\arg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=3\cdot\frac{\pi}{4}\) |
| \(\arg\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=5\cdot\frac{\pi}{6}\) | \(\arg(-1)=4\cdot \frac{\pi}{4}=\pi\) |
\(\arg\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=7\cdot\frac{\pi}{6}\) | \(\arg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=5\cdot\frac{\pi}{4}\) |
\(\arg\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=8\cdot\frac{\pi}{6}=4\cdot\frac{\pi}{3}\) | \(\arg(-i)=6\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}\pi\) |
\(\arg\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=10\cdot\frac{\pi}{6}=5\cdot\frac{\pi}{3}\) | \(\arg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=7\cdot\frac{\pi}{4}\) |
Zapamiętaj najważniejsze własności argumentu zespolonego
Argument główny liczby zespolonej jest kątem:\[0\le \arg(z)<2\pi\]Argument główny iloczynu liczb zespolonych jest sumą argumentów:\[\arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)+2k\pi,\,\,k=0\,\,lub\,\,k=-1\] Argument ilorazu liczb zespolonych jest różnicą argumentów:\[\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)+2k\pi,\,\,k=0\,\,lub\,\,k=1\] Argument główny potęgi liczby zespolonej jest równy wielokrotności argumentu:\[\arg(z^n)=n\cdot \arg(z)+2k\pi,\,\,\,k\in\mathbb{Z}\]
Przykład 1
Liczymy argument bez użycia własności:
\[\arg(i\cdot(1+i))=\arg(i\cdot 1+i^2)=\arg(i-1)=\arg(-1+i)=\frac{3}{4}\pi\]
A teraz liczymy przy użyciu własności argumentu:
\[\arg(i\cdot(1+i))=\arg(i)+\arg(1+i)+2k\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{3}{4}\pi\]
Dobieramy \(k=0\) ponieważ \(0\le \frac{3}{4}\pi<2\pi\)
Przykład 2
Liczymy argument bez użycia własności (wykonujemy dzielenie liczb zespolonych):
\[\arg\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\arg\left(\frac{(1+i)^2}{1+1}\right)=\arg\left(\frac{1+2i-1}{2}\right)=\arg\left(\frac{2i}{2}\right)=\arg(i)=\frac{\pi}{2}\]
A teraz liczymy przy użyciu własności argumentu:
\[\arg\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\arg(1+i)-\arg(1-i)+2k\pi=\]\[=\frac{\pi}{4}-\frac{7}{4}\pi+2k\pi=-\frac{3}{2}\pi+2k\pi=-\frac{3}{2}\pi+2\pi=\frac{\pi}{2}\]
Dobieramy \(k=1\), aby argument mieścił się w przedziale od 0 do \(2\pi\).
Metody wyznaczania argumentu głównego
- metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=x+yi\) odpowiada punkt o współrzędnych (x,y)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
- z układu równań (\(z=x+yi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{x}{|z|}\] - z arcusa tangensa (tylko, gdy \(x>0,\,y>0\)):
\[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]
Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.
Szybki sposób wyznaczania argumentu:
1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.
Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]
Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:
Kliknij i zobacz więcej przykładów jak liczyć moduł, sprzężenie i argument
10. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:
\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]
gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\).
Przykład 1
\[1=1\cdot (\cos(0)+i\sin(0))=\cos(0)+i\sin(0)\]
Przykład 2
\[i=1\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\]
Przykład 3
\[1+i=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]
Zapamiętaj najważniejsze własności cosinusa i sinusa
Cosinus jest funkcją parzystą, a sinus nieparzystą:\[\cos (-\alpha)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(-\alpha)=-\sin \alpha\]
Funkcje trygonometryczne są okresowe (k jest liczbą całkowitą):\[\cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(\alpha+2k\pi)=\sin \alpha\]
11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych
Jeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]
Przykład
\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]Możemy sprawdzić jeszcze wynik w kalkulatorze wolframalpha.com
Zapamiętaj schemat potęgowania liczb zespolonych
1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument
2. Zastosuj wzór de Moivre'a
3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa
12. Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Pierwiastek zespolony stopnia \(n\in\mathbb{N}\) z liczby \(z\) to każda liczba \(w\) spełniająca równość:\[w^n=z\]
Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych liczby \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\), taki zbiór zawiera dokładnie n liczb, które oznaczamy przez \(z_0,z_1,\ldots,n-1\):\[\sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}\]
UWAGA: Pierwiastek zespolony i "zwykły" pierwiastek z liczby rzeczywistej, to dwa zupełnie inne pojęcia. Różnica jest taka, że pierwiastek zespolony to zbiór wszystkich rozwiązań równania \(w^n=z\) (tych rozwiązań jest dokładnie \(n\)), natomiast pierwiastek z liczby rzeczywistej to jedna liczba.
Przykład 1
Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(-1\), to zbiór złożony z liczb \(i\) oraz \(-i\):\[\sqrt{-1}=\{i,-i\}\]ponieważ \(i^2=-1\) oraz \((-i)^2=-1\).
W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(-1\) w ogóle nie istnieje!
Przykład 2
Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(1\), to zbiór złożony z liczb \(1\) oraz \(-1\):\[\sqrt{1}=\{1,-1\}\]ponieważ \(1^2=1\) oraz \((-1)^2=1\).
W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(1\) jest równy 1
\[\sqrt{1}=1\]Kliknij i sprawdź obliczenia w kalkulatorze pierwiastków zespolonych
Każdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).
Dla przykładu \(z_0,\,z_1,\,z_2\) są następującej postaci:
\[z_0=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\]\[z_1=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)\right)\]\[z_2=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)\right)\]
Gdy znamy pierwiastek \(z_0\), to każdy następny pieriwastek da się obliczyć ze wzoru:
\[z_k=z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,\ldots,n-1\]
Powyższy wzór wynika z poniższych przekształceń, w których używamy mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:
\[z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\]\[=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right)\]
Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonej
Zbiór pierwiastków stopnia \(\ge 3\) tworzy na płaszczyźnie zespolonej n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\) i środku w początku układu współrzędnych. Gdy n=3 to otrzymamy trójkąt równoboczny, dla n=4 otrzymamy kwadrat. Dzięki interpretacji geometrycznej zbioru pierwiastków zespolonych możesz łatwo sprawdzić swoje obliczenia, wystarczy narysować wszystkie pierwiastki na płaszczyźnie i zobaczyć, czy tworzą wielokąt foremny.
Kliknij i zobacz więcej przykładów pierwiastkowania liczb zespolonych
13. Postać wykładnicza i wzory Eulera
Każdą liczbę zespoloną można zapisać również w postaci wykładniczej:
\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)=|z|e^{i\alpha},\]
gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\), \(e\) to liczba Eulera (Nepera) oraz \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha\)
Przykład
Oto tożsamość Eulera, która uznawana jest za najpiękniejszy wzór matematyczny:\[e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1\]gdy powyższą tożsamość zapiszemy w postaci \(e^{i\pi}+1=0\),
to w jednym równaniu będą występowały najważniejsze stałe matematyczne \(0,1,\pi,e,i\)
Z postacią wykładniczą związane są wzory Eulera:
\[\cos \alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\,\,\,\sin \alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]
Wzory Eulera pojawiąją się najczęściej w zadaniach, w których należy zapisać funkcje trygonometryczne wielokrotności kątą w innej postaci.
14. Pułapki związane z jednostką urojoną
We wszelkich obliczeniach na liczbach zespolonych stosuj definicję jednostki urojonej, tj.:
Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]
Jednostka urojona to formalnie jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).
Często możesz spotkać się z zapisem
\[i=\sqrt{-1}\]
który choć nieformalny (czyli niepoprawny matematycznie - zobacz część poświęconą pierwiastkowaniu liczb zespolonych) jest akceptowalny. Musisz jednak zachować ostrożność!
Do czego może prowadzić stosowanie zapisu \(i=\sqrt{-1}\)?
Oto przykłady sprzeczności jakie możena otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):
\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]
\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]
Powyższe sprzeczności wynikąją z nieuprawnionego zastosowania własności pierwiastka rzeczywistego w przypadku pierwiastków zespolonych (które nie są liczbami, a zbiorami liczb - zobacz część tego poradnika o pierwiastkowaniu liczb zespolonych).
Ważne: Przy rozwiązywaniu zadań nigdy nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub np. \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).
15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne
3. Podaj część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych
\[z_1=1,\,\,\,z_2=i,\,\,\,z_3=1+i\]
2. Oblicz
\[i^3=?\]
3. Uzasadnij, że prawdziwy jest wzór skróconego mnożenia:
\[(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\]
4. Oblicz moduły liczb zespolonych
\[z_1=i,\,\,\,z_2=1+i,\,\,\,z_3=-1-i\]
Zrób kolejny krok i ucz się liczb zespolonych na przykładach
Komentarzy (6)
\[\frac{1}{i}=-i\]wtedy:\[\sqrt{x+\frac{1}{yi}}=\sqrt{x-\frac{1}{y}i}\]
Rozwiązanie sprowadza się do policzenia pierwiastków 2-go stopnia z liczby \(x-\frac{1}{y}i\). Rozwiązania podobnych zadań znajdzie Pan w dziale poświęconym pierwiastkowaniu liczb zespolonych oraz równaniom zespolonym.
Powinno być (x≥0,y≤0)