Start Macierze i wyznaczniki - podstawowe wzory i własności
1. Co to jest macierz?
Macierz to uporządkowana tablica liczb, w której pozycja każdego elementu jest określona przez numer wiersza i kolumny w którym ten element występuje. Poniżej przykład macierzy A, która posiada 4 wiersze (liczymy poziomo) i 3 kolumny (liczymy pionowo):
\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]\]
Teraz pytanie do Ciebie, jaka liczba stoi w 2 wierszu i 2 kolumnie macierzy A? Już masz? Oczywiście, ta liczba to 2.
Macierze oznacza się dużymi literami alfabetu, np. A,B,C, natomiast elementy macierzy (czyli liczby, które występują w macierzy) oznacza się małymi literkami, np. elementy macierzy A oznacza się literką a.
Dodatkowo, aby wskazać pozycję elementu w macierzy A dodaje się numer wiersza i kolumny w którym ten element stoi, tj. \(a_{ij}\), gdzie \(i\) to numer wiersza, a \(j\) to numer kolumny, w której stoi dany element. Często spotykany jest zapis \(A=[a_{ij}]\) lub \(A=(a_{ij})\), gdzie \(i=1,2,\ldots,m,\, j=1,2,\ldots,n\), który stosuje się do opisania macierzy A, która posiada elementy oznaczone przez \(a_{ij}\).
Wracając do naszego wcześniejszego przykładu, możemy napisać, że \(a_{22}=2\) i w ten sposób oznaczymy element macierzy A, który występuje w 2 wierszu i 2 kolumnie.
1.1. Wymiar macierzy
to "liczba wierszy x liczba kolumn" np. macierz wymiaru 2x3 (czyta się macierz wymiaru 2 na 3), to macierz posiadająca 2 wiersze i 3 kolumny.
Macierz wymiaru nxn, czyli o takiej samej liczbie wierszy i kolumn, nazywa się macierzą kwadratową. Gdy macierz jest wymiaru nxn (jest kwadratowa), to mówi się o, że jest stopnia n, np. macierz wymiaru 2x2 jest macierzą stopnia 2, a macierz wymiaru 4x4 jest stopnia 4.
Formalnie każdą macierz wymiaru mxn możemy zapisać w następującej postaci:
\[A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]
CIEKAWOSTKA: Macierze mają bardzo wiele praktycznych zastosowań w matematyce (np. do rozwiązywania układów równań), w informatyce (np. do zapisywania i przetwarzania danych), w grafice (np. do reprezentacji obiektów). Macierze, oprócz liczb zespolonych, są jednym z najważniejszych działów algebry liniowej.
1.2. Macierze, a układy równań liniowych
Jak się okazuje każdemu układowi równań odpowiada macierz zawierająca współczynniki liczbowe występujące w każdym z równań.
Przykład
układowi równań
\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&3y&=&5\\3x&-&2y&=&1\end{array}\right.\]
odpowiada macierz, której elementy są współczynnikami występującymi w równaniach:
\[\left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\3&-2&1\end{array}\right]\]
często stosuje się zapis w postaci tzw. macierzy blokowej (rozszerzonej):
\[\left[\begin{array}{cc}2&3\\3&-2\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\]
Pierwszy wiersz powyższej macierzy zawiera elementy 2,3 i 5, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w pierwszym równaniu naszego układu równań.
Drugi wiersz powyższej macierzy zawiera elementy 3,-2 i 1, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w drugim równaniu.
Macierz, która opisuje cały układ równań liniowych nazywa się macierzą rozszerzoną układu, natomiast macierz zawierającą tylko wpsółczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.
W ogólnym przypadku, układowi równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]
można przypisać macierz zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\) oraz wyrazy wolne \(b_1,b_2,...,b_m\):
\[\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}&b_m\end{array}\right]\]
w równoważnej postaci blokowej możemy tą macierz zapisać tak:
\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\ b_m\end{array}\right]\]
Macierze znacznie ułatwiają rozwiązywanie układów równań liniowych, ponieważ upraszczają zapis, ale przede wszystkim dostarczają metod (wyznacznik, macierz odwrotna, operacje elementarne), które pozwalają rozwiązywać układy.
1.3. Równość macierzy
Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- Wymiary macierzy A i B muszą być takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn to B też musi być wymiaru mxn)
- Wszystkie elementy o tych samych współrzędnych w macierzach A i B muszą być takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]
Przykład 1
Jeżeli:
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
to \(A=B\),
ponieważ oba warunki równości macierzy są spełnione.
Przykład 2
Jeżeli:
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2\\3\\1\\4 \end{bmatrix}\]
to \(A\neq B\),
ponieważ wymiary macierzy A i B nie są idntyczne (A jest wymiaru 1x4, natomiast B jest wymiaru 4x1)
Przykład 3
Jeżeli:
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
to z definicji równości macierzy wynika, że
\[a=d=1,\,\,\,\,b=c=0\]
UWAGA: Równość macierzy wykorzystuje się bardzo często przy rozwiązywaniu równań macierzowych, a w szczególności układów równań liniowych.
2. Rodzaje macierzy
2.1. Macierz zerowa
Wśród wszystkich macierzy szczególne znaczenie ma macierz zerowa wymiaru mxn, której wszystkie elementy są równe zero, czyli
\[a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\]\[0_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}0&0&\ldots&0\\0&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&0\end{array}\right]\]
Przykład macierzy zerowej wymiaru 2x3:
\[0_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]\]
2.2. Macierz diagonalna
to macierz kwadratowa, która posiada poza przekątną same zera, czyli
\[a_{ij}=0\,\, dla \,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[D_{n}=\left[\begin{array}{cccc}d_1&0&\ldots&0\\0&d_2&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&d_n\end{array}\right]\]
Macierz diagonalną często oznacza się przez \(diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)\), gdzie \(d_i=a_{ii}\), są elementami występującymi na przekątnej.
Przykład macierzy diagonalnej stopnia 4:
\[D_{4}=diag(2,0,-5,2)=\left[\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&2\end{array}\right]\]
2.3. Macierz jednostkowa
to macierz kwadratowa, która posiada na przekątnej jedynki i poza przekątną same zera, czyli
\[a_{ii}=1\,\,\,i\,\,\,a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[I_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&1\end{array}\right]\]
Macierz jednostkowa jest macierzą diagonalną, której wszystkie elementy stojące na przekątnej są równe 1, czyli \(I_n=diag(\underbrace{1,1,\ldots,1}_{n})\)
Przykłady macierzy jednostkowej stopnia 1,2 i 3:
\[I_1=[1],\,\,\,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\,\,\,I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\]
3. Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dodawać i odejmować można jedynie macierze tych samych wymiarów.
Dodawanie macierzy polega na dodaniu do siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych (element macierzy wynikowej stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie utworzony jest przez dodanie do siebie elementów obu macierzy stojących w i-tym wierszu i j-tej kolumnie), np.:
\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+3&-4+1&5+2\\0-2&2+0&-1+1\\4-3&2+6&1+0\\2-2&4+1&-6+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4&-3&7\\-2&2&0\\1&8&1\\0&5&-1\end{array}\right]\]
Dodawanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A+B\).
Odejmowanie macierzy polega na odjęciu od siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych. Oto przykład.:
\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-3&-4-1&5-2\\0-(-2)&2-0&-1-1\\4-(-3)&2-6&1-0\\2-(-2)&4-1&-6-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&-5&3\\2&2&-2\\7&-4&1\\4&3&-11\end{array}\right]\]
Odejmowanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A-B\).
Jeżeli \(A=[a_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), \(B=[b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), to \(A\pm B=[a_{ij}\pm b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\).
Schemat dodawania i odejmowania macierzy możemy zapisać następująco:
\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\pm\left[\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\a_{21}\pm b_{21}&a_{22}\pm b_{22}&\ldots&a_{2n}\pm b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2}\pm b_{m2}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right]\]
4. Iloczyn macierzy przez liczbę
polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez liczbę, oto przykład:
\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\cdot 2 &2\cdot 3 &2\cdot 1 &2\cdot 4\\2\cdot (-1) &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1\\2\cdot 2 &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]
Mnożenie liczby przez macierz jest przemienne, więc kolejność w jakiej wykonujemy mnożenie jest dowolna:
\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot 2=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]
Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\), to \(\,\,c\cdot A=A\cdot c=[c\cdot a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\).
Schemat mnożenia macierzy przez liczbę:
\[c\cdot \left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\cdot c=\left[\begin{array}{cccc}c\cdot a_{11}&c\cdot a_{12}&\ldots&c\cdot a_{1n}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}&\ldots&c\cdot a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c\cdot a_{m1}&c\cdot a_{m2}&\ldots&c\cdot a_{mn}\end{array}\right]\]
Zapamiętaj ważne własności działań na macierzach
Jeżeli macierze A, B, C oraz macierz zerowa 0 są tego samego wymiaru, a,b są liczbami rzeczywistymi, to:
\[A+B=B+A\]\[A+(B+C)=(A+B)+C\]\[A+0=0+A=A\]\[A+(-A)=0\]\[a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B\]\[(a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A\]\[1\cdot A=A\cdot 1=A\]\[(a\cdot b)\cdot A=a\cdot (b\cdot A)\]
5. Mnożenie macierzy przez macierz
Mnożenie macierzy jest operacją zupełnie inną niż mnożenie zwykłych liczb. Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, np. iloczyn macierzy:
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]
jest wykonalny, ponieważ macierz A posiada 3 kolumny, a macierz B ma 3 wiersze, zatem liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).
Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:
\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]
Spróbujmy teraz wykonać mnożenie macierzy A i B (patrz wyżej). Po pierwsze zauważ, że macierz wynikowa C będzie wymiaru 2x2, ponieważ liczba wierszy macierzy A to 2 oraz liczba kolumn macierzy B to też 2, dlatego:
\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =C= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix}\]
Obliczmy teraz kolejne elementy macierzy C zgodnie ze wzorem na elementy macierzy powstałej w wyniku mnożenia macierzy:
\[c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}=1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1=5\]
\[c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}=1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0=1\]
\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}=-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1=4\]
\[c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}=-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0=2\]
Podsumowując, iloczyn macierzy A i B będzie następujący:
\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}\]
Zobacz jeszcze jeden poczuczający przykład jak wykonać mnożenie macierzy:
\[\begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5\\6\\7\\8\end{bmatrix}=\big[(1\cdot 5+2\cdot 6+3\cdot 7+4\cdot 8)\big]=\big[70\big]\]
Zauważ, że pierwsza macierz jest wymiaru 1x4, a druga 4x1, więc macierz wynikowa jest wymiaru 1x1.
Jeśli chcesz sprawdzić obliczenia, wykorzystaj ten kalkulator mnożenia macierzy.
Zapamiętaj ważne własności mnożenia macierzy
Jeżeli macierze A, B i C są macierzami odpowiednich wymiarów (tak aby działania poniżej były wykonalne), \(a,b\) są liczbami rzeczywistymi, \(0\) to macierz zerowa a \(I\) to macierz jednostkowa, to:
\[\textrm{zwykle:}\,\,\,AB\neq BA\]\[\textrm{potęgowanie macierzy:}\,\,\,A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots\cdot A}_{n\,\,\textrm{razy}}\]\[A(B+C)=AB+AC\]\[(A+B)C=AC+BC\]\[A\cdot 0=0\cdot A=0\]\[I\cdot A=A\cdot I=A\]\[A(aB)=(aA)B\]\[A(BC)=(AB)C\]
6. Transponowanie macierzy
polega na zamianie wierszy i kolumn między sobą. Macierz transponowaną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^T\).
Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\), to \( A^T=[a_{ji}],\,\,j=1,2,\ldots,n,\,\,i=1,2,\ldots,m\).
Zapamiętaj, że jeżeli macierz \(A\) jest wymiaru mxn to macierz transponowana \(A^T\) będzie wymiaru nxm.
Przykład transponowania
\[\textrm{Jeżeli}\,\,\,A=\begin{bmatrix} \color{red}2 &\color{red}3 &\color{red}1 &\color{red}4\\\color{blue}{-1} &\color{blue} 2 &\color{blue} 0 &\color{blue}1\\ \color{green}2 &\color{green}2 &\color{green}0 &\color{green}1 \end{bmatrix}\,\,\,\,\textrm{to}\,\,\,\,A^T=\begin{bmatrix} \color{red}2 &\color{blue}{-1} & \color{green}2\\\color{red}3 &\color{blue}2 &\color{green}2\\ \color{red}1 &\color{blue}0 &\color{green}0\\\color{red}4 &\color{blue}1 &\color{green}1 \end{bmatrix}\]
Schemat transponowania macierzy:
\[\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}{11}}}&\color{red}{a_{\color{red}12}}&\ldots&\color{red}{a_{\color{red}1n}}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}11}}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\\color{red}{a_{\color{red}12}}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\color{red}{a_{\color{red}1m}}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}\end{array}\right]\]
Zapamiętaj ważne własności transponowania macierzy
Jeżeli macierze A, B i C są tego samego wymiaru, \(n\) jest liczbą naturalną, to:
\[(A+B)^T=A^T+B^T\]\[\big(A^T\big)^T=A\]\[(AB)^T=B^T\cdot A^T\]\[\big(A^n\big)^T=\big(A^T\big)^n\]
Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z działań na macierzach
7. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy
1. Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, zapisuje się to tak: \(w_{i}+c\cdot w_j\) lub \(k_{i}+c\cdot k_j\), \(c\in\mathbb{R}\) gdzie \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy), np. \(w_2+(-3)w_1\) oznacza, że do elementów drugiego wiersza macierzy dodajemy elementy stojące w pierwszym wierszu przemnożone przez -3, czyli tak naprawdę odejmujemy elementy pierwszego wiersza pomnożone przez liczbę 3
Przykład
\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3\cdot w_1}\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&1&-1\end{array}\right]\]
Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie odejmowania od drugiego równania pierwszego równania pomnożonego przez 3 w następującym układzie równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{r_2-3\cdot r_1}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\&&y&=&-1\end{array}\right.\]
2. Zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn), zapisuje się to za pomocą obustronnej strzałki, tj. \(w_i\leftrightarrow w_j\) lub \(k_i\leftrightarrow k_j\), np. \(w_1\leftrightarrow w_2\) oznacza, że w miejsce wiersza pierwszego wstawiamy wiersz drugi, a w miejsce wiersza drugiego wstawiamy wiersz pierwszy
Przykład
\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{w_1\leftrightarrow w_2}\left[\begin{array}{ccc}6&4&-4\\2&1&-1\end{array}\right]\]
Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie zamiany między sobą pierwszego i drugiego równania w układzie równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}6x&+&4y&=&-4\\2x&+&y&=&-1\end{array}\right.\]
3. Pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera, zapisuje się to tak: \(c\cdot w_i\) lub \(c\cdot k_i\), gdzie \(c\in\mathbb{R}\setminus \{0\}\), np. \(\frac{1}{2}w_2\) oznacza, że każdy element wiersza drugiego przemnażamy przez liczbę równą \(\frac{1}{2}\)
Przykład
\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{\frac{1}{2}\cdot w_2}\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\3&2&-2\end{array}\right]\]
Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie dzielenia drugiego równania przez liczbę 2 (lub mnożenie przez \(\frac{1}{2}\)) układzie równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{\frac{1}{2}\cdot r_2}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\3x&+&2y&=&-2\end{array}\right.\]
Operacje elementarne wykorzystuje się przy:
- obliczaniu wyznacznika macierzy (szczególnie pierwszą z powyższych operacji, tj. doawanie do elementów pewnego wiersza macierzy elementów innego wiersza pomnożonych przez jakąś liczbę, w ten sposób można wyzerować elementy jakiegoś wiersza, co bardzo ułatwia liczenie wyznacznika)
- liczeniu rzędu macierzy (operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy)
- rozwiązywaniu układów równań liniowych w postaci macierzowej (operacje elementarne odpowiadają działaniom na równaniach w układzie równań)
- odwracaniu macierzy metodą Gaussa-Jordana (są dozwolone wszystkie 3 operacje elementarne, ale tylko na wierszach)
8. Wyznacznik macierzy
to liczba rzeczywista przyporządkowana macierzy kwadratowej. Wyznacznik macierzy A oznacza się symbolem \(|A|\) lub \(\det A\), np. jeżeli:
\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right]\]
to wyznacznik macierzy A możemy zapisać (oznaczyć) na dwa równoważne sposoby:
\[\det A=\det \left[\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,|A|=\left|\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right|\]
Istnieje kilka metod liczenia wyznacznika:
- Metoda Sarrusa, którą można stosować tylko do obliczania wyznaczników macierzy wymiaru 3x3
- Metoda Laplace'a, którą można stosować dla macierzy wszystkich stopni
- Operacje elementarne, które pozwalają uprościć obliczenia wyznacznika, stanowią więc często niezbędne narzędzie, szczególnie przy wyznacznikach wysokich stopni (np. 4, 5 itd.)
Zobacz kalkulator wyznaczników macierzy mojego autorstwa, który pomoże Ci w liczeniu wyznaczników macierzy różnych stopni.
8.1. Macierz osobliwa i nieosobliwa
Macierz kwadratowa A jest osobliwa, gdy jej wyznacznik jest równy zero, czyli \(\det A=0\).
Natomiast, gdy \(\det A\neq 0\) (wyznacznik jest różny od zera), to macierz A nazywamy nieosobliwą.
Przykład 1
Macierz:
\[\begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}\]
jest osobliwa, ponieważ jej wyznacznik jest równy zero (czytaj dalej, aby zobaczyć jak obliczyć ten wyznacznik)
Przykład 2
Macierz:
\[\begin{bmatrix}1&2\\-4&1\end{bmatrix}\]
jest nieosobliwa, ponieważ jej wyznacznik jest równy 9 (czytaj dalej, aby zobaczyć jak obliczyć ten wyznacznik)
8.2. Wyznacznik macierzy 1x1
Jeżeli macierz jest stopnia 1 (posiada jeden wiersz i jedną kolumnę), \(A=[a_{11}]\), to:
\[\det A=a_{11}\]
Przykłady
\[\det [1]=1,\,\,\,\det[-5]=-5\]
UWAGA: Zapamiętaj koniecznie ten prosty sposób liczenia wyznacznika stopnia 1.
8.3. Wyznacznik macierzy 2x2
Wyznaczniki macierzy stopnia 2 liczymy ze wzoru:
\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]
W postaci łatwiejszej do zapamiętania możemy to zapisać tak:
\[det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]
Przykład
\[det\begin{bmatrix}1&2\\-4&1\end{bmatrix}=1\cdot 1-2\cdot (-4)=9\]
UWAGA: Wzór na wyznacznik macierzy wymiaru 2x2 bierze się z zastosowania rozwinięcia Laplace'a. Wzór ten warto zapamiętać.
8.4. Wyznacznik macierzy 3x3 - metoda Sarrusa
Wyznaczniki stopnia 3 można liczyć korzystając z metody Sarrusa, która polega na dopisaniu po prawej stronie obok wyznacznika 2 pierwszych kolumn macierzy i następnie wymnożenie elementów wzdłuż ukośnych linii.
Schemat wygląda następująco:
\[\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{array}=\]\[=(a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32})-(a_{31} a_{22} a_{13}+a_{32} a_{23} a_{11}+a_{33} a_{21} a_{12})\]
Przykład 1
\[\det \begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}\left.\begin{array}{ccc}1&2\\-4&1\\-1&8\\\end{array}\right|=\big(1\cdot 1\cdot 0+2\cdot 0\cdot (-1)+0\cdot (-4)\cdot 8\big)-\big((-1)\cdot 1\cdot 0+8\cdot 0 \cdot 1+0\cdot (-4)\cdot 2\big)=0\]
Przykład 2
\[\left|\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right|\begin{array}{ccc}1&3\\2&-1\\3&1\\\end{array}=(2+9-2)-(3+1-12)=17\]
UWAGA: Reguła Sarrusa służy tylko i wyłącznie do obliczania wyznaczników stopnia 3! Pamiętaj, że nie można jej stosować do obliczania wyznaczników innych stopni.
8.5. Dopełnienia algebraiczne
Załóżmy, że \(A=[a_{ij}]\) jest macierzą kwadratową stopnia \(n\ge 2\).
Dopełnieniem algebraicznym elementu \(a_{ij}\) macierzy A nazywamy liczbę:
\[D_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}\]
gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A, np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.
Wyznacznik macierzy \(A_{ij}\), czyli \(\det A_{ij}\) nazywa się minorem.
Przykład
Obliczmy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy:
\[\begin{bmatrix}0&-4\\1&2\end{bmatrix}\]
Liczymy:
Tworzymy macierz \(A_{11}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{11}=[2]\)
\[D_{11}=(-1)^{1+1}\det A_{11}=(-1)^{2}\det[2]=2\]
Tworzymy macierz \(A_{12}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{12}=[1]\)
\[D_{12}=(-1)^{1+2}\det A_{12}=(-1)^{3}\det[1]=-1\]
Tworzymy macierz \(A_{21}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{21}=[-4]\)
\[D_{21}=(-1)^{2+1}\det A_{21}=(-1)^{3}\det[-4]=4\]
Tworzymy macierz \(A_{22}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{22}=[0]\)
\[D_{22}=(-1)^{2+2}\det A_{22}=(-1)^{4}\det[0]=0\]
8.6. Rozwinięcie Laplace'a
służy do obliczania wyznaczników dowolnych stopni. W przypadku macierzy A stopnia n, schemat metody Laplace'a wygląda następująco:
1. Wybieramy wiersz lub kolumnę macierzy, w której znajduje się najwięcej zer
2. "Rozwijamy" wyznacznik względem wybranego wiersza lub kolumny wyliczając wyznaczniki macierzy stopni n-1 (dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów).
W przypadku rozwinięcia względem i-tego wiersza (gdzie \(i=1,2,\ldots,n\)) schemat metody Laplace'a wygląda następująco:
\[\det A=a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det A_{i1}+a_{i2}\cdot (-1)^{i+2}\cdot\det A_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot (-1)^{i+n} \cdot\det A_{in}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot (-1)^{i+k}\cdot \det A_{ik}\]
gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (\(\det A_{ij}\) to minor macierzy), np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.
Zauważ, że \((-1)^{i+k}\) będzie na przemian równe -1 i 1 lub 1 i -1, więc w rozwinięciu Laplace'a kolejne wyrażenia mają na przemian znak minus i plus (lub plus i minus).
Dla przykładu, gdy \(i=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszego wiersza:
\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{12}\cdot (-1)^{1+2}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{12}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}\]
W przypadku rozwinięcia względem j-tej kolumny (gdzie \(j=1,2,\ldots,n\)) mamy następujący wzór na wyznacznik:
\[\det A=a_{1j}\cdot (-1)^{1+j}\cdot \det A_{1j}+a_{2j}\cdot (-1)^{2+j}\cdot \det A_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot (-1)^{n+j}\cdot\det A_{nj}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot (-1)^{k+j}\cdot\det A_{kj}\]
np. gdy \(j=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszej kolumny:
\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{21}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}\]
Używając dopełnień algebraicznych rozwinięcie Laplace'a względem i-tego wiersza można zapisać następująco:
\[\det A=a_{i1}\cdot D_{i1}+a_{i2}\cdot D_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot D_{in}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot D_{ik}\]
Natomiast rozwinięcie względem j-tej kolumny wygląda tak:
\[\det A=a_{1j}\cdot D_{1j}+a_{2j}\cdot D_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot D_{nj}=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot D_{kj}\]
Przykład
Rozwinięcie Laplace'a w przypadku wyznacznika stopnia 2 prowadzi do wzoru, który już znasz.
Wykonajmy rozwinięcie Laplace'a względem 1-go wiersza:
\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot det[a_{22}]+a_{12}\cdot (-1)^{1+2} \cdot\det[a_{21}]=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]
8.7. Wyznacznik macierzy 3x3 - rozwinięcie Laplace'a
Oto schemat rozwinięcia Laplace'a dla macierzy stopnia 3 względem 1-go wiersza:
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\big(a_{22}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\big)-a_{12}\big(a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{31}\big)+a_{13}\big(a_{21}\cdot a_{32}-a_{22}\cdot a_{31}\big)\]
Przykład 1
Wyznacznik macierzy, która posiada wiersz lub kolumnę samych zer jest równy zero.
Wykonajmy rozwinięcie Laplace'a względem 3 kolumny:
\[\det \begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}=0+0+0=0\]
Przykład 2
Do rozwinięcia Laplace'a wybieramy wiersz lub kolumnę, która posiada najwięcej zer.
Poniżej stosujemy rozwinięcie względem 1 kolumny:
8.8. Wyznacznik macierzy 4x4 - rozwinięcie Laplace'a
Oto schemat rozwinięcia Laplace'a dla macierzy stopnia 4 względem 1-go wiersza:
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+\]\[+a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{14}(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}-a_{14}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\]
Wyznaczniki stopnia 3, które otrzymaliśmy w powyższym rozwinięciu możemy obliczyć znowu za pomocą metody Laplace'a lub przy użyciu reguły Sarrusa.
Przykład
Wykonujemy rozwinięcie Laplace'a względem 3 kolumny:
Wyznaczniki macierzy 3x3 obliczamy korzystając z rozwinięć Laplace'a względem 1 kolumny:
8.9. Upraszczanie obliczeń wyznacznika za pomocą operacji elementarnych
Zauważyłeś już pewnie, że najłatwiej i najszybciej liczy się wyznaczniki, w których występuje wiele zer.
Wiesz już, że do rozwinięcia Laplace'a warto wybierać ten wiersz lub kolumnę, w którym jest najwięcej zer, wtedy oszczędzimy sobie liczenia depłnień algebraicznych, czyli wyznaczników o stopień niższych niż wyjściowa macierz.
Okazuje się, że istnieje metoda, która pozwala zerować elementy macierzy, a co najważniejsze nie ma to wpływu na wartość wyznacznika.
Mowa tu o operacjach elementarnych, a właściwie jednej operacji, która polega na dodawaniu do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) tej macierzy pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, oznacza się to przez:
\[w_{i}+c\cdot w_j\]lub\[k_{i}+c\cdot k_j,\]gdzie \(c\in\mathbb{R}\) oraz \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy).
Powyższa operacja elementarna na wierszach lub kolumnach nie zmienia wartości wyznacznika macierzy.
Przykład
Spróbujmy zastosować tą operację i obliczyć wyznacznik macierzy:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=?\]
Zauważ, że pierwszy i trzeci wiersz tej macierzy są takie same, więc wykonajmy operację elementarną \(w_1-w_3\),
czyli odejmijmy od elementów pierwszego wiersza odpowiadające im elementy stojące w wierszu 3:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]
W ten sposób otrzymujemy macierz, która ma same zera w pierwszym wierszu.
Teraz możemy zastosować rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i mamy:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0+0+0=0\]
Ostatecznie, ponieważ wykonana operacja elementarna nie zmienia wartości wyznacznika naszej wyjściowej macierzy, więc:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0\]
UWAGA: Oznaczenie \(\xrightarrow{w_1+cw_j}\), które pojawia się, gdy stosujemy operacje elementarne można zastąpić oznaczeniem \(\stackrel{w_i+cw_j}{=}\). Pamiętaj, że wartość wyznacznika, który otrzymujemy na końcu, po wykonaniu wszystkich operacji elementarnych jest równa wartości wyjściowego wyznacznika (który tak naprawdę chcemy policzyć).
Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z wyznacznikiem macierzy
9. Macierz odwrotna
Macierz odwrotną można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych nieosobliwych (czyli takich, które posiadają wyznacznik różny od zera). Macierz odwrotną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^{-1}\), taka macierz spełnia równanie:
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]
gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz \(A\).
Metody obliczania macierzy odwrotnych:
- ze wzoru, który wymaga obliczenia wyznacznika i dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy
- przy użyciu metody Gaussa-Jordana, która polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy, zgodnie ze schematem \[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A
Zobacz kalkulator macierzy odwrotnych, dzięki któremu sprawdzisz poprawność swoich obliczeń.
9.1. Wzór na macierz odwrotną
do obliczenia macierzy odwrotnej możemy użyć następującego wzoru:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(A^D\big)^T=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn}\end{bmatrix}^T\]
gdzie \(|A|\) jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast \(D_{ij}\) są dopełnieniami algebraicznymi elementów \(a_{ij}\) macierzy A.
Macierz \(A^D\) nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.
Wzór na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]
Przykład
\[\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2\cdot 1-0\cdot 3}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\]
Zapamiętaj najważniejsze własności macierzy odwrotnej
\[\big(A^{-1}\big)^{-1}=A\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]\[\big(A^{T}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^T\]\[diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)^{-1}=diag\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\ldots,\frac{1}{d_n}\right), \,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,d_1\neq 0,\,d_2\neq 0,\ldots,d_n\neq 0\]
9.2. Metoda Gaussa-Jordana (bezwyznacznikowa)
odwracanie macierzy metodą bezwyznacznikową przebiega zgodnie z następującym schematem:\[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]
Tłumacząc metodę Gaussa obliczania macierzy odwrotnej na ludzki język musisz:
- Zapisać macierz blokową \([A|I]\), gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową stopnia takiego jak macierz A
- Wykonywać takie operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|I]\), aby w miejscu macierzy A (czyli w lewym bloku) otrzymać macierz jednostkową, wtedy w miejscu macierzy \(I\) (czyli w prawym bloku) otrzymasz macierz odwrotną \(A^{-1}\),
symbolicznie można to zapisać w postaci \([I|A^{-1}]\) - Na koniec odczyatać macierz odwrotną, która będzie równa macierzy stojącej po prawej stronie macierzy jednostkowej
Przykład
Powiedzmy, że chcemy obliczyć macierz odwrotną do macierzy:
\[A=\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\]
Krok 1
Zapisujemy macierz blokową \([A|I]\)
\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\]
Krok 2
Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|B]\),
tak aby otrzymać macierz jednostkową po lewej stronie (w miejscu macierzy A):
\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1:2}\left[\begin{array}{cc}1&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3w_1}\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]=[I|A^{-1}]\]
Krok 3
Odczytujemy macierz odwrotną, która stoi po prawej stronie macierzy jednostkowej (w prawym bloku):
\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]\]
Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z macierzy odwrotnych
10. Macierze w kalkulatorze wolframalpha.com
Wyniki różnych obliczeń na macierzach można łatwo sprawdzić w kalkulatorze na stronie wolframalpha.com
Aby obliczyć wyznacznik oraz macierz odwrotną (a także np. wartości i wektory własne) wystarczy wpisać po prostu macierz, np. możemy wpisać {{1,-1,-1},{2,0,2},{6,-2,-1}}
Otrzymamy w wyniku m.in. wyznacznik macierzy:
oraz macierz odwrotną:
Jak dokładnie wpisuje się macierze w kalkulatorze wolframa dowiesz się w tym tutorialu.
Zobacz również kalkulator macierzy mojego autorstwa, który pomoże Ci obliczyć wyznacznik, ślad, rząd macierzy oraz macierz odwrotną.
11. Sprawdź swoją wiedzę o macierzach - zadania kontrolne
1. Ile wierszy i kolumn ma macierz
\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]\]
2. Wskaż element \(a_{23}\) w macierzy
\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6 \end{array}\right]\]
3. Jaki wymiar ma macierz
\[A=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\1& 0& 0\\0& 1&1\end{array}\right]\]
4. Czy macierze
\[A=\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right],\,\,B=[1\,\, 2]\]
są sobie równe?
5. Wykonaj działania na macierzach
\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\]
6. Oblicz wyznacznik macierzy
\[\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right|\]
7. Oblicz macierz odwrotną do macierzy
\[\left[\begin{array}{cc}0& 1\\1&0\end{array}\right]\]
Zrób kolejny krok i ucz się macierzy i wyznaczników na przykładach
Komentarzy (21)
powinno być "przyporządkowana".