W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - podstawowe wzory i własności

1. Co to jest macierz?

Macierz to uporządkowana tablica liczb, w której pozycja każdego elementu jest określona przez numer wiersza i kolumny w którym ten element występuje. Poniżej przykład macierzy A, która posiada 4 wiersze (liczymy poziomo) i 3 kolumny (liczymy pionowo):

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]\]

Teraz pytanie do Ciebie, jaka liczba stoi w 2 wierszu i 2 kolumnie macierzy A? Już masz? Oczywiście, ta liczba to 2.

Macierze oznacza się dużymi literami alfabetu, np. A,B,C, natomiast elementy macierzy (czyli liczby, które występują w macierzy) oznacza się małymi literkami, np. elementy macierzy A oznacza się literką a.

Dodatkowo, aby wskazać pozycję elementu w macierzy A dodaje się numer wiersza i kolumny w którym ten element stoi, tj. \(a_{ij}\), gdzie \(i\) to numer wiersza, a \(j\) to numer kolumny, w której stoi dany element. Często spotykany jest zapis \(A=[a_{ij}]\) lub \(A=(a_{ij})\), gdzie \(i=1,2,\ldots,m,\, j=1,2,\ldots,n\), który stosuje się do opisania macierzy A, która posiada elementy oznaczone przez \(a_{ij}\).

Wracając do naszego wcześniejszego przykładu, możemy napisać, że \(a_{22}=2\) i w ten sposób oznaczymy element macierzy A, który występuje w 2 wierszu i 2 kolumnie.

1.1. Wymiar macierzy

to "liczba wierszy x liczba kolumn" np. macierz wymiaru 2x3 (czyta się macierz wymiaru 2 na 3), to macierz posiadająca 2 wiersze i 3 kolumny.

Macierz wymiaru nxn, czyli o takiej samej liczbie wierszy i kolumn, nazywa się macierzą kwadratową. Gdy macierz jest wymiaru nxn (jest kwadratowa), to mówi się o, że jest stopnia n, np. macierz wymiaru 2x2 jest macierzą stopnia 2, a macierz wymiaru 4x4 jest stopnia 4.

Formalnie każdą macierz wymiaru mxn możemy zapisać w następującej postaci:

\[A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]

CIEKAWOSTKA: Macierze mają bardzo wiele praktycznych zastosowań w matematyce (np. do rozwiązywania układów równań), w informatyce (np. do zapisywania i przetwarzania danych), w grafice (np. do reprezentacji obiektów). Macierze, oprócz liczb zespolonych, są jednym z najważniejszych działów algebry liniowej.

1.2. Macierze, a układy równań liniowych

Jak się okazuje każdemu układowi równań odpowiada macierz zawierająca współczynniki liczbowe występujące w każdym z równań.

Przykład

układowi równań

\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&3y&=&5\\3x&-&2y&=&1\end{array}\right.\]

odpowiada macierz, której elementy są współczynnikami występującymi w równaniach:

\[\left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\3&-2&1\end{array}\right]\]

często stosuje się zapis w postaci tzw. macierzy blokowej (rozszerzonej):

\[\left[\begin{array}{cc}2&3\\3&-2\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\]

Pierwszy wiersz powyższej macierzy zaiwra elementy 2,3 i 5, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w pierwszym równaniu naszego układu równań.

Drugi wiersz powyższej macierzy zaiwra elementy 3,-2 i 1, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w drugim równaniu.

Macierz, która opisuje cały układ równań liniowych nazywa się macierzą rozszerzoną układu, natomiast macierz zawierającą tylko wpsółczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.

W ogólnym przypadku, układowi równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]

można przypisać macierz zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\) oraz wyrazy wolne \(b_1,b_2,...,b_m\):

\[\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}&b_m\end{array}\right]\]

w równoważnej postaci blokowej możemy tą macierz zapisać tak:

\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\ b_m\end{array}\right]\]

Macierze znacznie ułatwiają rozwiązywanie układów równań liniowych, ponieważ upraszczają zapis, ale przede wszystkim dostarczają metod (wyznacznik, macierz odwrotna, operacje elementarne), które pozwalają rozwiązywać układy.

1.3. Równość macierzy

Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

  1. Wymiary macierzy A i B muszą być takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn to B też musi być wymiaru mxn)
  2. Wszystkie elementy o tych samych współrzędnych w macierzach A i B muszą być takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]

Przykład 1

Jeśeli:

\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

to \(A=B\),
ponieważ oba warunki równości macierzy są spełnione.

Przykład 2

Jeżeli:

\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2\\3\\1\\4 \end{bmatrix}\]

to \(A\neq B\),
ponieważ wymiary macierzy A i B nie są idntyczne (A jest wymiaru 1x4, natomiast B jest wymiaru 4x1)

Przykład 3

Jeżeli:

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

to z definicji równości macierzy wynika, że

\[a=d=1,\,\,\,\,b=c=0\]

UWAGA: Równość macierzy wykorzystuje się bardzo często przy rozwiązywaniu równań macierzowych, a w szczególności układów równań liniowych.

2. Rodzaje macierzy

2.1. Macierz zerowa

Wśród wszystkich macierzy szczególne znaczenie ma macierz zerowa wymiaru mxn, której wszystkie elementy są równe zero, czyli

\[a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\]\[0_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}0&0&\ldots&0\\0&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&0\end{array}\right]\]

Przykład macierzy zerowej wymiaru 2x3:

\[0_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]\]

2.2. Macierz diagonalna

to macierz kwadratowa, która posiada poza przekątną same zera, czyli

\[a_{ij}=0\,\, dla \,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[D_{n}=\left[\begin{array}{cccc}d_1&0&\ldots&0\\0&d_2&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&d_n\end{array}\right]\]

Macierz diagonalną często oznacza się przez \(diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)\), gdzie \(d_i=a_{ii}\), są elementami występującymi na przekątnej.

Przykład macierzy diagonalnej stopnia 4:

\[D_{4}=diag(2,0,-5,2)=\left[\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&2\end{array}\right]\]

2.3. Macierz jednostkowa

to macierz kwadratowa, która posiada na przekątnej jedynki i poza przekątną same zera, czyli

\[a_{ii}=1\,\,\,i\,\,\,a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[I_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&1\end{array}\right]\]

Macierz jednostkowa jest macierzą diagonalną, której wszystkie elementy stojące na przekątnej są równe 1, czyli \(I_n=diag(\underbrace{1,1,\ldots,1}_{n})\)

Przykłady macierzy jednostkowej stopnia 1,2 i 3:

\[I_1=[1],\,\,\,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\,\,\,I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\]

3. Dodawanie i odejmowanie macierzy

Dodawać i odejmować można jedynie macierze tych samych wymiarów.

Dodawanie macierzy polega na dodaniu do siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych (element macierzy wynikowej stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie utworzony jest przez dodanie do siebie elementów obu macierzy stojących w i-tym wierszu i j-tej kolumnie), np.:

\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+3&-4+1&5+2\\0-2&2+0&-1+1\\4-3&2+6&1+0\\2-2&4+1&-6+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4&-3&7\\-2&2&0\\1&8&1\\0&5&-1\end{array}\right]\]

Dodawanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A+B\).

 Odejmowanie macierzy polega na odjęciu do siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych. Oto przykład.:

\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-3&-4-1&5-2\\0-(-2)&2-0&-1-1\\4-(-3)&2-6&1-0\\2-(-2)&4-1&-6-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&-5&3\\2&2&-2\\7&-4&1\\4&3&-11\end{array}\right]\]

Odejmowanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A-B\).

Jeżeli \(A=[a_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), \(B=[b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), to \(A\pm B=[a_{ij}\pm b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\).

Schemat dodawania i odejmowania macierzy możemy zapisać następująco:

\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\pm\left[\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\a_{21}\pm b_{21}&a_{22}\pm b_{22}&\ldots&a_{2n}\pm b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2}\pm b_{m2}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right]\]

4. Iloczyn macierzy przez liczbę

polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez liczbę, oto przykład:

\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\cdot 2 &2\cdot 3 &2\cdot 1 &2\cdot 4\\2\cdot (-1) &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1\\2\cdot 2 &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

Mnożenie liczby przez macierz jest przemienne, więc kolejność w jakiej wykonujemy mnożenie jest dowolna:

\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot 2=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\), to \(\,\,c\cdot A=A\cdot c=[c\cdot a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\).

Schemat mnożenia macierzy przez liczbę:

\[c\cdot \left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\cdot c=\left[\begin{array}{cccc}c\cdot a_{11}&c\cdot a_{12}&\ldots&c\cdot a_{1n}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}&\ldots&c\cdot a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c\cdot a_{m1}&c\cdot a_{m2}&\ldots&c\cdot a_{mn}\end{array}\right]\]

Zapamiętaj ważne własności działań na macierzach

Jeżeli macierze A, B, C oraz macierz zerowa 0 są tego samego wymiaru, a,b są liczbami rzeczywistymi, to:
\[A+B=B+A\]\[A+(B+C)=(A+B)+C\]\[A+0=0+A=A\]\[A+(-A)=0\]\[a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B\]\[(a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A\]\[1\cdot A=A\cdot 1=A\]\[(a\cdot b)\cdot A=a\cdot (b\cdot A)\]

5. Mnożenie macierzy przez macierz

 Mnożenie macierzy jest operacją zupełnie inną niż mnożenie zwykłych liczb. Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, np. iloczyn macierzy:

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

jest wykonalny, ponieważ macierz A posiada 3 kolumny, a macierz B ma 3 wiersze, zatem liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).

Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:

\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]

Spróbujmy teraz wykonać mnożenie macierzy A i B (patrz wyżej). Po pierwsze zauważ, że macierz wynikowa C będzie wymiaru 2x2, ponieważ liczba wierszy macierzy A to 2 oraz liczba kolumn macierzy B to też 2, dlatego:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =C= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix}\]

Obliczmy teraz kolejne elementy macierzy C zgodnie ze wzorem na elementy macierzy powstałej w wyniku mnożenia macierzy:

\[c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}=1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1=5\]

\[c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}=1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0=1\]

\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}=-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1=4\]

\[c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}=-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0=2\]

Podsumowując, iloczyn macierzy A i B będzie następujący:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}\]

Zobacz jeszcze jeden poczuczający przykład jak wykonać mnożenie macierzy:

\[\begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5\\6\\7\\8\end{bmatrix}=\big[(1\cdot 5+2\cdot 6+3\cdot 7+4\cdot 8)\big]=\big[70\big]\]

Zauważ, że pierwsza macierz jest wymiaru 4x1, a druga 1x4, więc macierz wynikowa jest wymiaru 1x1.

Jeśli chcesz sprawdzić obliczenia, wykorzystaj ten kalkulator mnożenia macierzy.

Zapamiętaj ważne własności mnożenia macierzy

Jeżeli macierze A, B i C są macierzami odpowiednich wymiarów (tak aby działania poniżej były wykonalne), \(a,b\) są liczbami rzeczywistymi, \(0\) to macierz zerowa a \(I\) to macierz jednostkowa, to:
\[\textrm{zwykle:}\,\,\,AB\neq BA\]\[\textrm{potęgowanie macierzy:}\,\,\,A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots\cdot A}_{n\,\,\textrm{razy}}\]\[A(B+C)=AB+AC\]\[(A+B)C=AC+BC\]\[A\cdot 0=0\cdot A=0\]\[I\cdot A=A\cdot I=A\]\[A(aB)=(aA)B\]\[A(BC)=(AB)C\]

6. Transponowanie macierzy

 polega na zamianie wierszy i kolumn między sobą. Macierz transponowaną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^T\).

Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\), to \( A^T=[a_{ji}],\,\,j=1,2,\ldots,n,\,\,i=1,2,\ldots,m\).

Zapamiętaj, że jeżeli macierz \(A\) jest wymiaru mxn to macierz transponowana \(A^T\) będzie wymiaru nxm

Przykład transponowania

\[\textrm{Jeżeli}\,\,\,A=\begin{bmatrix} \color{red}2 &\color{red}3 &\color{red}1 &\color{red}4\\\color{blue}{-1} &\color{blue} 2 &\color{blue} 0 &\color{blue}1\\ \color{green}2 &\color{green}2 &\color{green}0 &\color{green}1 \end{bmatrix}\,\,\,\,\textrm{to}\,\,\,\,A^T=\begin{bmatrix} \color{red}2 &\color{blue}{-1} & \color{green}2\\\color{red}3 &\color{blue}2 &\color{green}2\\ \color{red}1 &\color{blue}0 &\color{green}0\\\color{red}4 &\color{blue}1 &\color{green}1 \end{bmatrix}\]

Schemat transponowania macierzy:

\[\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}{11}}}&\color{red}{a_{\color{red}12}}&\ldots&\color{red}{a_{\color{red}1n}}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}11}}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\\color{red}{a_{\color{red}12}}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\color{red}{a_{\color{red}1m}}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}\end{array}\right]\]

Zapamiętaj ważne własności transponowania macierzy

Jeżeli macierze A, B i C są tego samego wymiaru, \(n\) jest liczbą naturalną, to:
\[(A+B)^T=A^T+B^T\]\[\big(A^T\big)^T=A\]\[(AB)^T=B^T\cdot A^T\]\[\big(A^n\big)^T=\big(A^T\big)^n\]

Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z działań na macierzach

7. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy

Na wierszach i kolumnach każdej macierzy możesz wykonywać pewne działania zwane operacjami elementarnymi. Operacje te odpowiadają działaniom jakie można wykonywać na równaniach w układzie równań liniowych, a które nie zmieniają rozwiązań układu.
Przekształcenia macierzy, które znajdziesz poniżej, mają ogromne zastosowania, ponieważ nie zmieniają pewnych własności macierzy, a potrafią znacznie uprościć różne obliczenia:

1. Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, zapisuje się to tak: \(w_{i}+c\cdot w_j\) lub \(k_{i}+c\cdot k_j\), \(c\in\mathbb{R}\) gdzie \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy), np. \(w_2+(-3)w_1\) oznacza, że do elementów drugiego wiersza macierzy dodajemy elementy stojące w pierwszym wierszu przemnożone przez -3, czyli tak naprawdę odejmujemy elementy pierwszego wiersza pomnożone przez liczbę 3

Przykład

\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3\cdot w_1}\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&1&-1\end{array}\right]\]

Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie odejmowania od drugiego równania pierwszego równania pomnożonego przez 3 w następującym układzie równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{r_2-3\cdot r_1}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\&&y&=&-1\end{array}\right.\]

2. Zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn), zapisuje się to za pomocą obustronnej strzałki, tj. \(w_i\leftrightarrow w_j\) lub \(k_i\leftrightarrow k_j\), np. \(w_1\leftrightarrow w_2\) oznacza, że w miejsce wiersza pierwszego wstawiamy wiersz drugi, a w miejsce wiersza drugiego wstawiamy wiersz pierwszy

Przykład

\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{w_1\leftrightarrow w_2}\left[\begin{array}{ccc}6&4&-4\\2&1&-1\end{array}\right]\]

Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie zamiany między sobą pierwszego i drugiego równania w układzie równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}6x&+&4y&=&-4\\2x&+&y&=&-1\end{array}\right.\]

3. Pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera, zapisuje się to tak: \(c\cdot w_i\) lub \(c\cdot k_i\), gdzie \(c\in\mathbb{R}\setminus \{0\}\), np. \(\frac{1}{2}w_2\) oznacza, że każdy element wiersza drugiego przemnażamy przez liczbę równą \(\frac{1}{2}\)

Przykład

\[\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\6&4&-4\end{array}\right]\xrightarrow{\frac{1}{2}\cdot w_2}\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\3&2&-2\end{array}\right]\]

Powyższej operacji elementarnej odpowiada wykonanie dzielenia drugiego równania przez liczbę 2 (lub mnożenie przez \(\frac{1}{2}\)) układzie równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\6x&+&4y&=&-4\end{array}\right.\,\,\xrightarrow{\frac{1}{2}\cdot r_2}\,\,\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&y&=&-1\\3x&+&2y&=&-2\end{array}\right.\]

Operacje elementarne wykorzystuje się przy:

  • obliczaniu wyznacznika macierzy (szczególnie pierwszą z powyższych operacji, tj. doawanie do elementów pewnego wiersza macierzy elementów innego wiersza pomnożonych przez jakąś liczbę, w ten sposób można wyzerować elementy jakiegoś wiersza, co bardzo ułatwia liczenie wyznacznika)
  • liczeniu rzędu macierzy (operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy)
  • rozwiązywaniu układów równań liniowych w postaci macierzowej (operacje elementarne odpowiadają działaniom na równaniach w układzie równań)
  • odwracaniu macierzy metodą Gaussa-Jordana (są dozwolone wszystkie 3 operacje elementarne, ale tylko na wierszach)

8. Wyznacznik macierzy

to liczba rzeczywista przyporządkowana macierzy kwadratowej. Wyznacznik macierzy A oznacza się symbolem \(|A|\) lub \(\det A\), np. jeżeli:

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right]\]

to wyznacznik macierzy A możemy zapisać (oznaczyć) na dwa równoważne sposoby:

\[\det A=\det \left[\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,|A|=\left|\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right|\]

Istnieje kilka metod liczenia wyznacznika:

  1. Metoda Sarrusa, którą można stosować tylko do obliczania wyznaczników macierzy wymiaru 3x3
  2. Metoda Laplace'a, którą można stosować dla macierzy wszystkich stopni
  3. Operacje elementarne, które pozwalają uprościć obliczenia wyznacznika, stanowią więc często niezbędne narzędzie, szczególnie przy wyznacznikach wysokich stopni (np. 4, 5 itd.)

Zobacz kalkulator wyznaczników macierzy mojego autorstwa, który pomoże Ci w liczeniu wyznaczników macierzy różnych stopni.

8.1. Macierz osobliwa i nieosobliwa

Macierz kwadratowa A jest osobliwa, gdy jej wyznacznik jest równy zero, czyli \(\det A=0\).

Natomiast, gdy \(\det A\neq 0\) (wyznacznik jest różny od zera), to macierz A nazywamy nieosobliwą.

Przykład 1

Macierz:

\[\begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}\]

jest osobliwa, ponieważ jej wyznacznik jest równy zero (czytaj dalej, aby zobaczyć jak obliczyć ten wyznacznik)

Przykład 2

Macierz:

\[\begin{bmatrix}1&2\\-4&1\end{bmatrix}\]

jest nieosobliwa, ponieważ jej wyznacznik jest równy 9 (czytaj dalej, aby zobaczyć jak obliczyć ten wyznacznik)

8.2. Wyznacznik macierzy 1x1

Jeżeli macierz jest stopnia 1 (posiada jeden wiersz i jedną kolumnę), \(A=[a_{11}]\), to:

\[\det A=a_{11}\]

Przykłady

\[\det [1]=1,\,\,\,\det[-5]=-5\]

UWAGA: Zapamiętaj koniecznie ten prosty sposób liczenia wyznacznika stopnia 1.

8.3. Wyznacznik macierzy 2x2

 Wyznaczniki macierzy stopnia 2 liczymy ze wzoru:

\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]

W postaci łatwiejszej do zapamiętania możemy to zapisać tak:

\[det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]

Przykład

\[det\begin{bmatrix}1&2\\-4&1\end{bmatrix}=1\cdot 1-2\cdot (-4)=9\]

UWAGA: Wzór na wyznacznik macierzy wymiaru 2x2 bierze się z zastosowania rozwinięcia Laplace'a. Wzór ten warto zapamiętać.

8.4. Wyznacznik macierzy 3x3 - metoda Sarrusa

Wyznaczniki stopnia 3 można liczyć korzystając z metody Sarrusa, która polega na dopisaniu po prawej stronie obok wyznacznika 2 pierwszych kolumn macierzy i następnie wymnożenie elementów wzdłuż ukośnych linii.

Schemat wygląda następująco:

\[\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{array}=\]\[=(a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32})-(a_{31} a_{22} a_{13}+a_{32} a_{23} a_{11}+a_{33} a_{21} a_{12})\]

Przykład 1

\[\det \begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}\left.\begin{array}{ccc}1&2\\-4&1\\-1&8\\\end{array}\right|=\big(1\cdot 1\cdot 0+2\cdot 0\cdot (-1)+0\cdot (-4)\cdot 8\big)-\big((-1)\cdot 1\cdot 0+8\cdot 0 \cdot 1+0\cdot (-4)\cdot 2\big)=0\]

Przykład 2

\[\left|\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2\end{array}\right|\begin{array}{ccc}1&3\\2&-1\\3&1\\\end{array}=(2+9-2)-(3+1-12)=17\]

UWAGA: Reguła Sarrusa służy tylko i wyłącznie do obliczania wyznaczników stopnia 3! Pamiętaj, że nie można jej stosować do obliczania wyznaczników innych stopni.

8.5. Dopełnienia algebraiczne

Załóżmy, że \(A=[a_{ij}]\) jest macierzą kwadratową stopnia \(n\ge 2\).

Dopełnieniem algebraicznym elementu \(a_{ij}\) macierzy A nazywamy liczbę:

\[D_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}\]

gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A, np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.

Wyznacznik macierzy \(A_{ij}\), czyli \(\det A_{ij}\) nazywa się minorem.

Przykład

Obliczmy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy:

\[\begin{bmatrix}0&-4\\1&2\end{bmatrix}\]

Liczymy:

Tworzymy macierz \(A_{11}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{11}=[2]\)

\[D_{11}=(-1)^{1+1}\det A_{11}=(-1)^{2}\det[2]=2\]

Tworzymy macierz \(A_{12}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{12}=[1]\)

\[D_{12}=(-1)^{1+2}\det A_{12}=(-1)^{3}\det[1]=-1\]

Tworzymy macierz \(A_{21}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{21}=[-4]\)

\[D_{21}=(-1)^{2+1}\det A_{21}=(-1)^{3}\det[-4]=4\]

Tworzymy macierz \(A_{22}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{22}=[0]\)

\[D_{22}=(-1)^{2+2}\det A_{22}=(-1)^{4}\det[0]=0\]

8.6. Rozwinięcie Laplace'a

służy do obliczania wyznaczników dowolnych stopni. W przypadku macierzy A stopnia n, schemat metody Laplace'a wygląda następująco:

1. Wybieramy wiersz lub kolumnę macierzy, w której znajduje się najwięcej zer

2. "Rozwijamy" wyznacznik względem wybranego wiersza lub kolumny wyliczając wyznaczniki macierzy stopni n-1 (dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów).

W przypadku rozwinięcia względem i-tego wiersza (gdzie \(i=1,2,\ldots,n\)) schemat metody Laplace'a wygląda następująco:

\[\det A=a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det A_{i1}+a_{i2}\cdot (-1)^{i+2}\cdot\det A_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot (-1)^{i+j} \cdot\det A_{in}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot (-1)^{i+k}\cdot \det A_{ik}\]

gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (\(\det A_{ij}\) to minor macierzy), np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.

Zauważ, że \((-1)^{i+k}\) będzie na przemian równe -1 i 1 lub 1 i -1, więc w rozwinięciu Laplace'a kolejne wyrażenia mają na przemian znak minus i plus (lub plus i minus).

Dla przykładu, gdy \(i=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszego wiersza:

\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{12}\cdot (-1)^{1+2}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{12}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}\]

W przypadku rozwinięcia względem j-tej kolumny (gdzie \(j=1,2,\ldots,n\)) mamy następujący wzór na wyznacznik:

\[\det A=a_{1j}\cdot (-1)^{1+j}\cdot \det A_{1j}+a_{2j}\cdot (-1)^{2+j}\cdot \det A_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot (-1)^{n+j}\cdot\det A_{nj}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot (-1)^{k+j}\cdot\det A_{kj}\]

np. gdy \(j=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszej kolumny:

\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{21}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}\]

Używając dopełnień algebraicznych rozwinięcie Laplace'a względem i-tego wiersza można zapisać następująco:

\[\det A=a_{i1}\cdot D_{i1}+a_{i2}\cdot D_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot D_{in}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot D_{ik}\]

Natomiast rozwinięcie względem j-tej kolumny wygląda tak:

\[\det A=a_{1j}\cdot D_{1j}+a_{2j}\cdot D_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot D_{nj}=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot D_{kj}\]

 Przykład

Rozwinięcie Laplace'a w przypadku wyznacznika stopnia 2 prowadzi do wzoru, który już znasz.
Wykonajmy rozwinięcie Laplace'a względem 1-go wiersza:

\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot det[a_{22}]+a_{12}\cdot (-1)^{1+2} \cdot\det[a_{21}]=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]

8.7. Wyznacznik macierzy 3x3 - rozwinięcie Laplace'a

Oto schemat rozwinięcia Laplace'a dla macierzy stopnia 3 względem 1-go wiersza:

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\big(a_{22}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\big)-a_{12}\big(a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{31}\big)+a_{13}\big(a_{21}\cdot a_{32}-a_{22}\cdot a_{31}\big)\]

Przykład 1

Wyznacznik macierzy, która posiada wiersz lub kolumnę samych zer jest równy zero.
Wykonajmy rozwinięcie Laplace'a względem 3 kolumny:

\[\det \begin{bmatrix}1&2&0\\-4&1&0\\-1&8&0\end{bmatrix}=0+0+0=0\]

Przykład 2

Do rozwinięcia Laplace'a wybieramy wiersz lub kolumnę, która posiada najwięcej zer.
Poniżej stosujemy rozwinięcie względem 1 kolumny:

Wyznacznik macierzy 3x3 - rozwinięcie Laplace'a

8.8. Wyznacznik macierzy 4x4 - rozwinięcie Laplace'a

Oto schemat rozwinięcia Laplace'a dla macierzy stopnia 4 względem 1-go wiersza:

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+\]\[+a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{14}(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}=\]\[=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}-a_{14}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\]

Wyznaczniki stopnia 3, które otrzymaliśmy w powyższym rozwinięciu możemy obliczyć znowu za pomocą metody Laplace'a lub przy użyciu reguły Sarrusa.

Przykład

Wykonujemy rozwinięcie Laplace'a względem 3 kolumny:

wyznacznik-macierzy-4x4-rozw-a

Wyznaczniki macierzy 3x3 obliczamy korzystając z rozwinięć Laplace'a względem 1 kolumny:

wyznacznik-macierzy-4x4-rozw-b

8.9. Upraszczanie obliczeń wyznacznika za pomocą operacji elementarnych

Zauważyłeś już pewnie, że najłatwiej i najszybciej liczy się wyznaczniki, w których występuje wiele zer.

Wiesz już, że do rozwinięcia Laplace'a warto wybierać ten wiersz lub kolumnę, w którym jest najwięcej zer, wtedy oszczędzimy sobie liczenia depłnień algebraicznych, czyli wyznaczników o stopień niższych niż wyjściowa macierz.

Okazuje się, że istnieje metoda, która pozwala zerować elementy macierzy, a co najważniejsze nie ma to wpływu na wartość wyznacznika.

Mowa tu o operacjach elementarnych, a właściwie jednej operacji, która polega na dodawaniu do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) tej macierzy pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, oznacza się to przez:

\[w_{i}+c\cdot w_j\]lub\[k_{i}+c\cdot k_j,\]gdzie \(c\in\mathbb{R}\) oraz \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy).

Powyższa operacja elementarna na wierszach lub kolumnach nie zmienia wartości wyznacznika macierzy.

Przykład

Spróbujmy zastosować tą operację i obliczyć wyznacznik macierzy:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=?\]

Zauważ, że pierwszy i trzeci wiersz tej macierzy są takie same, więc wykonajmy operację elementarną \(w_1-w_3\),
czyli odejmijmy od elementów pierwszego wiersza odpowiadające im elementy stojące w wierszu 3:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]

W ten sposób otrzymujemy macierz, która ma same zera w pierwszym wierszu.
Teraz możemy zastosować rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i mamy:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0+0+0=0\]

Ostatecznie, ponieważ wykonana operacja elementarna nie zmienia wartości wyznacznika naszej wyjściowej macierzy, więc:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0\]

UWAGA: Oznaczenie \(\xrightarrow{w_1+cw_j}\), które pojawia się, gdy stosujemy operacje elementarne można zastąpić oznaczeniem \(\stackrel{w_i+cw_j}{=}\). Pamiętaj, że wartość wyznacznika, który otrzymujemy na końcu, po wykonaniu wszystkich operacji elementarnych jest równa wartości wyjściowego wyznacznika (który tak naprawdę chcemy policzyć).

Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z wyznacznikiem macierzy

9. Macierz odwrotna

Macierz odwrotną można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych nieosobliwych (czyli takich, które posiadają wyznacznik różny od zera). Macierz odwrotną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^{-1}\), taka macierz spełnia równanie:

\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]

gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz \(A\).

Metody obliczania macierzy odwrotnych:

  1. ze wzoru, który wymaga obliczenia wyznacznika i dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy
  2. przy użyciu metody Gaussa-Jordana, która polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy, zgodnie ze schematem \[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A

Zobacz kalkulator macierzy odwrotnych, dzięki któremu sprawdzisz poprawność swoich obliczeń.

9.1. Wzór na macierz odwrotną

do obliczenia macierzy odwrotnej możemy użyć następującego wzoru:

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(A^D\big)^T=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn}\end{bmatrix}^T\]

gdzie \(|A|\) jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast \(D_{ij}\) są dopełnieniami algebraicznymi elementów \(a_{ij}\) macierzy A.

Macierz \(A^D\) nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.

Wzór na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:

\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]

Przykład

\[\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2\cdot 1-0\cdot 3}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\]

Zapamiętaj najważniejsze własności macierzy odwrotnej
\[\big(A^{-1}\big)^{-1}=A\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]\[\big(A^{T}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^T\]\[diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)^{-1}=diag\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\ldots,\frac{1}{d_n}\right), \,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,d_1\neq 0,\,d_2\neq 0,\ldots,d_n\neq 0\]

9.2. Metoda Gaussa-Jordana (bezwyznacznikowa)

odwracanie macierzy metodą bezwyznacznikową przebiega zgodnie z następującym schematem:\[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]

Tłumacząc metodę Gaussa obliczania macierzy odwrotnej na ludzki język musisz:

  1. Zapisać macierz blokową \([A|I]\), gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową stopnia takiego jak macierz A
  2. Wykonywać takie operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|I]\), aby w miejscu macierzy A (czyli w lewym bloku) otrzymać macierz jednostkową, wtedy w miejscu macierzy \(I\) (czyli w prawym bloku) otrzymasz macierz odwrotną \(A^{-1}\),
    symbolicznie można to zapisać w postaci \([I|A^{-1}]\)
  3. Na koniec odczyatać macierz odwrotną, która będzie równa macierzy stojącej po prawej stronie macierzy jednostkowej

Przykład

Powiedzmy, że chcemy obliczyć macierz odwrotną do macierzy:

\[A=\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\]

Krok 1

Zapisujemy macierz blokową \([A|I]\)

\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\]

Krok 2

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|B]\),
tak aby otrzymać macierz jednostkową po lewej stronie (w miejscu macierzy A):

\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1:2}\left[\begin{array}{cc}1&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3w_1}\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]=[I|A^{-1}]\]

Krok 3

Odczytujemy macierz odwrotną, która stoi po prawej stronie macierzy jednostkowej (w prawym bloku):

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]\]

Kliknij i zobacz przykładowe zadania z rozwiązaniami z macierzy odwrotnych

10. Macierze w kalkulatorze wolframalpha.com

Wyniki różnych obliczeń na macierzach można łatwo sprawdzić w kalkulatorze na stronie wolframalpha.com

Aby obliczyć wyznacznik oraz macierz odwrotną (a także np. wartości i wektory własne) wystarczy wpisać po prostu macierz, np. możemy wpisać {{1,-1,-1},{2,0,2},{6,-2,-1}}

macierz w kalkulatorze wolframalpha

Otrzymamy w wyniku m.in. wyznacznik macierzy:

wyznacznik macierzy wolframalpha

oraz macierz odwrotną:

macierz odwrotna wolframalpha

 Jak dokładnie wpisuje się macierze w kalkulatorze wolframa dowiesz się w tym tutorialu.

Zobacz również kalkulator macierzy mojego autorstwa, który pomoże Ci obliczyć wyznacznik, ślad, rząd macierzy oraz macierz odwrotną.

11. Sprawdź swoją wiedzę o macierzach - zadania kontrolne

1. Ile wierszy i kolumn ma macierz

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]\]

Macierz A ma 4 wiersze i 3 kolumny.

2. Wskaż element \(a_{23}\) w macierzy

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6 \end{array}\right]\]

Element \(a_{23}\) stoi w 2 wierszu i 3 kolumnie, więc \(a_{23}=-1\).

3. Jaki wymiar ma macierz

\[A=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\1& 0& 0\\0& 1&1\end{array}\right]\]

Macierz A ma 3 wiersze i 3 kolumny, więc jej wymiar to 3x3.

4. Czy macierze

\[A=\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right],\,\,B=[1\,\, 2]\]

są sobie równe?

Nie są, ponieważ ich wymiary się nie zgadzają. Macierz A ma wymiar 2x1, a macierz B ma wymiar 1x2.

5. Wykonaj działania na macierzach

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\]

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]=\left(\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]=\]\[=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&-2&-1\\-1& 4&-1\end{array}\right]\]

6. Oblicz wyznacznik macierzy

\[\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right|\]

\[\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot 2=1-4=-3\]

7. Oblicz macierz odwrotną do macierzy

\[\left[\begin{array}{cc}0& 1\\1&0\end{array}\right]\]

Skorzystajmy ze wzoru na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:

\[\left[\begin{array}{cc}a& b\\c&d\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{a\cdot d-b\cdot c}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\-c&a\end{array}\right]\]

stąd

\[\left[\begin{array}{cc}0& 1\\1&0\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{0\cdot 0-1\cdot 1}\left[\begin{array}{cc}0& -1\\-1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\1&0\end{array}\right]\]

Zrób kolejny krok i ucz się macierzy i wyznaczników na przykładach

 

Zapisz

Komentarzy (2)

  • sebo!
    @rio1112 Dziękuję bardzo, błąd poprawiony.
  • rio1112
    Drobny błąd ortograficzny się wkradł 8. Wyznacznik macierzy "to liczba rzeczywista przypożądkowana macierzy kwadratowej."
    powinno być "przyporządkowana".