Start Ciągi liczbowe - podstawowe wzory i własności
1. Co to jest ciąg liczbowy?
Ciągi liczbowe najczęściej oznacza się symbolami:
\[(a_n),\,\,\,(b_n),\,\,\,(c_n),\,\,\,\textrm{itd.}\]
Oto kilka przykładów:
Ciąg \(a_n\) jest skończony, ponieważ zawiera tylko pięć wyrazów (liczb):
\[(a_n)=(1,\,2,\,3,\,4,\,5)\]
Ciąg \(b_n\) zawiera tylko dwie liczby:
\[(b_n)=(\sin(1),\,\sin(3))\]
Ciągi \(c_n\) i \(d_n\) są nieskończone, ponieważ zawierają nieskończenie wiele liczb (oznaczamy to trzema kropkami na końcu ...):
\[(c_n)=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},...\right)\]
\[(d_n)=\big(-2\sqrt{2},\,-4\sqrt{2},\,-8\sqrt{2},...\big)\]
Więcej przykładów ciągów znajdziesz w internetowej encyklopedii ciągów liczbowych (spróbuj wpisać kilka liczb po przecinku, kliknij "Search" i zobacz czy Twój ciąg został już przez kogoś "wynaleziony" ;-)
Ciąg liczbowy to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, a tak po ludzku to poprostu ponumerowany zbiór elementów (liczb).
Wyrazy ciągu liczbowego (czyli jego elementy) oznaczamy przez:
\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,...\]\[b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,...\]
Dla przykładu pierwszy wyraz ciągu \((a_n)=(1,2,3,4,5,...)\), to \(a_1=1\), piąty wyraz to \(a_5=5\), setny wyraz to \(a_{100}=100\).
Ciągi liczbowe można określać na różne sposoby:
1. za pomocą wzoru, (tzw. wzór ogólny ciągu) - podaje się jeden ogólny przepis na każdy z wyrazów ciągu:
Przykład 1
\[a_n=n\,-\,\textrm{wzór ciągu}\]
Wzór ciągu stanowi przepis jak tworzyć kolejne wyrazy, zobacz sam (bierzemy \(n=1,2\) i \(n=100\)):
\[a_1=1,\,\,\,a_2=2,\,...,\,a_{100}=100\]
Przykład 2
\[b_n=\sin(2n-1)\,-\,\textrm{wzór}\]
Chcąc zapisać jakiś wyraz ciągu musimy zastąpić indeks \(n\) konkretną liczbą:
\[b_1=\sin(1),\,\,\,b_2=\sin(3),\,\,\,b_3=\sin(5),\,\,\,b_4=\sin(7),\,...,\,b_{9}=\sin(2\cdot 9-1)=\sin(17)\]
Przykład 3
\[c_n=\frac{(-1)^n}{4}\,-\,\textrm{wzór}\]
Ciąg może mieć wyrazy różniące się tylko znakiem (plus, minus):
\[c_1=-\frac{1}{4},\,\,\,c_2=\frac{1}{4},\,\,\,c_3=-\frac{1}{4},\,\,\,c_4=\frac{1}{4},\,...,\,c_{31}=\frac{(-1)^{31}}{4}=-\frac{1}{4}\]
Przykład 4
\[d_n=-2^n\sqrt{2}\,-\,\textrm{wzór}\]
Kilka wyrazów ciągu:
\[d_1=-2\sqrt{2},\,\,\,d_2=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]
2. rekurencyjnie - podaje się jeden lub kilka pierwszych wyrazów ciągu, a każdy następny wyraz można zapisać za pomocą poprzednich wyrazów
Przykład 1
Ciąg arytmetyczny
\[a_1=2,\,\,\,a_{n+1}=a_n+1\]
Pierwszy wyraz jest ustalony i wynosi 1.
Każdy następny wyraz ciągu (zaczynając od drugiego) tworzymy przez dodanie liczby 1 do poprzedniego wyrazu:
\[a_1=2,\,\,\,a_2=a_1+1=2+1=3,\,\,\,a_{3}=a_{2}+1=3+1=4\]
Przykład 2
Ciąg geometryczny:
\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_{n+1}=2 b_n\]
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest podany (np. \(-2\sqrt{2}\)),
każdy następny wyraz (począwszy od drugiego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez jakąś liczbę (np. 2):
\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_2=2b_1=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]
Przykład 3
Ciąg Fibbonaciego:
\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}\]
Pierwsze dwa wyrazy są równe 1, każdy następny wyraz poczynając od trzeciego jest równy sumie dwóch poprzednich:
\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_3=c_2+c_1=1+1=2,\,\,\,c_{4}=c_3+c_2=2+1=3\]
3. opisowo, poprzez podanie (słownie) własności jednoznacznie określającej ciąg:
Przykład
\[a_n\,-\,\textrm{n-ta liczba pierwsza}\]
\[a_1=2,\,\,\,a_2=3,\,\,\,a_3=5,\,\,\,a_4=7,\,\,\,a_5=11,\,\,\,a_6=13,\,\,\,a_7=17\]
4. wypisując wyrazy ciągu - sprawdza się szczególnie w przypadku ciągów skończonych:
Przykłady
Ciągi skończone:
\[\left(1,1,1,1,1\right)\]
\[\left(\pi,-2\pi,e,e^\pi,\pi^e\right)\]
Ciągi nieskończone:
\[\left(1,1,1,1,1,...\right)\]
Przy takim opisie ciągu nieskończonego, musimy się domyślić jak wyglądają dalsze wyrazy ciągu.
W powyższym przykładzie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.
\[\left(1,-1,1,-1,1,-1,...\right)\]
Wyrazy powyższego ciągu to na przemian 1 i -1.
CIEKAWOSTKA: Ciągi liczbowe, podobnie jak pochodne i granice funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy matematycznej.
2. Ciągi ograniczone
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\), czyli: \[\exists\, D\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\](istnieje liczba rzeczywista \(D\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge D\]
Przykład
Ciąg \(a_n=n\) jest ograniczony z dołu, ponieważ:
\[a_n=n\ge 1=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]
Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:
\[a_1=1,\,a_2=2,\,a_3=3,\,a_4=4,...\]
Widać, że ciąg "startuje" od liczby 1 i ciągle się zwiększa, więc na pewno każdy jego wyraz jest większy (bądź równy) od 1.
Ciąg \((a_n)\) jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli: \[\exists\, G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieje liczba rzeczywista \(G\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le G\]
Przykład
Ciąg \(a_n=1-n\) jest ograniczony z góry, ponieważ:
\[a_n=1-n\le 0=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]
Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:
\[a_1=0,\,a_2=-1,\,a_3=-2,\,a_4=-3,...\]
Widać, że ciąg "startuje" od liczby 0 i się zmniejsza, więc na pewno każdy jego wyraz jest mniejszy (bądź równy) od zera.
Ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\) i jednocześnie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli gdy jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry: \[\exists\, D,G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieją liczby rzeczywiste \(D\) i \(G\), takie, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzą nierówności)\[D\le a_n\le G\]
Przykład
Czy ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony?
Krok 1
Warto wypisać sobie kilka wyrazów ciągu:
\[a_1=\frac{1}{1}=1,\,\,a_2=\frac{1}{2},\,\,a_3=\frac{1}{3},\,\,\,a_4=\frac{1}{4}\]
Krok 2
Widać, że ciąg jest ograniczony z góry przez liczbę \(G=1\), czyli:
\[a_n=\frac{1}{n}\le 1=G,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]
Krok 3
Można też zauważyć, że wyrazy ciągu \(a_n\) są coraz mniejsze wraz ze wzrostem indeksu n, jednak są zawsze większe od \(D=0\), czyli:
\[a_n=\frac{1}{n}> 0=D,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]
Dlatego ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu przez \(D=0\).
Ktok 4
Ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu i z góry, zatem jest ograniczony.
3. Ciągi monotoniczne
Monotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub nierosnący.
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]
Przykład
\[a_n=1\,-\,\textrm{ciąg stały}\]
ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:
\[a_n=1=a_{n+1}\]
np. dla \(n=1\) mamy:
\[a_1=1=a_{2}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1<a_2<a_3<...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n< a_{n+1}\]
Przykład
\[a_n=n+1\,-\,\textrm{ciąg rosnący}\]
ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:
\[a_n=n+1<n+2=a_{n+1}\]
np. dla \(n=1\) mamy:
\[a_1=2<3=a_{2}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest niemalejący, gdy jego wyrazy zwiększają się lub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\le a_2\le a_3\le...\]czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le a_{n+1}\]
Przykład
\[a_n=n^2\,-\,\textrm{ciąg niemalejący}\]
ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:
\[a_n=n^2\le (n+1)^2=a_{n+1}\]
np. dla \(n=2\) mamy:
\[a_2=4\le 9=a_{3}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest malejący, gdy jego wyrazy zmniejszają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1>a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]
Przykład
\[a_n=\frac{1}{n}\,-\,\textrm{ciąg malejący}\]
ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:
\[a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}\]
np. dla \(n=3\) mamy:
\[a_3=\frac{1}{3}>\frac{1}{4}=a_{4}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]
Przykład
\[a_n=-n\,-\,\textrm{ciąg nierosnący}\]
ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:
\[a_n=-n\ge -(n+1)=a_{n+1}\]
np. dla \(n=4\) mamy:
\[a_4=-4\ge -5=a_{5}\]
Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub malejący.
Jak sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?
Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n<0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\]Ciąg \((a_n)\) jest nierosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n\le 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]
Przykład
Jak wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący?
Sposób I
Sprawdzamy jaki jest znak wyrażenia \(a_{n+1}-a_n\), tj.
\[a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}=\]\[=\frac{n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0,\,\,\,dla\,\,n\in\mathbb{N}\]
zatem \(a_{n+1}-a_n<0\), czyli \(a_{n+1}<a_n\), co oznacza, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący.
Sposób II
Sprawdzamy czy wyrażenie \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) jest mniejsze od 1:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{(n+1)+1}}{\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n+2}\cdot \frac{n+1}{1}=\frac{n+1}{n+2}<\frac{n+2}{n+2}=1,\,\,\,dla\,\,n\in\mathbb{N}\]
zatem \(\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\), czyli \(a_{n+1}<a_n\), co oznacza, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący.
4. Ciąg arytmetyczny
jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.
Przepis na n-ty wyraz ciągu:
\[a_{n+1}=a_n+r\]
Każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).
Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]
Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:
\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):
\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]
Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest:
- rosnący, gdy \(r>0\)
- malejący, gdy \(r<0\)
- stały, gdy \(r=0\)
Przykład
Poniższy ciąg jest arytmetyczny, ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi 2:
\[a_n=(2,4,6,8,...)\]
Wzór na wyraz ogólny (\(a_1=2,\,\,r=2\)):
\[a_n=2+(n-1)\cdot 2=2+2n-2=2n\]
5. Ciąg geometryczny
Przepis na n-ty wyraz ciągu:
\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]
Każdy następny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę \(q\). Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu.
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_k\cdot q^{n-k}\]
Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:
\[a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]
lub równoważnie
\[a^2_n={a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]
Środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (n-ta suma):
\[S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\,\,q\neq 1\]
lub
\[S_n=n\cdot a_1,\,\,q=1\]
Ciąg geometryczny jest:
- rosnący, gdy \(a_1>0\) i \(q>1\) lub \(a_1<0\) \(0<q<1\)
- malejący, gdy \(a_1<0\) i \(q>1\) lub \(a_1>0\) \(0<q<1\)
- stały, gdy \(q=1\)
- naprzemienny, gdy \(q=-1\)
Przykład
Poniższy ciąg jest geometryczny, ponieważ każdy następny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego:
\[a_n=(2,4,8,16,...)\]
Wzór na wyraz ogólny (\(a_1=2,\,\,q=2\)):
\[a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n\]
6. Granice ciągów
Granicę ciągu \(a_n\) przy \(n\to \infty\) (gdy n dąży do nieskończoności) oznaczamy przez:
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=g\]
lub
\[a_n\to g,\,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,n\to \infty\]
gdzie \(g\) jest wynikiem granicy, który może:
1. być jakąś liczbą rzeczywistą, np. \(g=\frac{1}{3}\), \(g=-\sqrt{2}\,\) itp. - taką granicę nazywa się granicą właściwą
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0\]
2. być nieskończonością, czyli \(g=-\infty\) lub \(g=+\infty\) - taką granicę nazywa się niewłaściwą
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}n=\infty\]
3. wogóle nie istnieć
Przykład 1
\[\lim\limits_{n\to \infty}\sin(n)\,\,-\,\,\textrm{nie istnieje}\]
Przykład 2
\[\lim\limits_{n\to \infty}(-1)^n\,\,-\,\,\textrm{nie istnieje}\]
Pamiętaj, że możliwe są jedynie trzy przypadki omówione powyżej.
Obrazowo, granica właściwa ciągu to taka wartość \(g\) (liczbowa), że gdy \(n\) jest dowolnie duże, to wartość ciągu jest bardzo blisko wartości \(g\).
W przypadku granicy niewłaściwej równej \(\infty\), gdy \(n\) jest dowolnie duże, to wartości ciągu są też dowolnie duże (lub dowolnie małe w przypadku granicy równej \(-\infty\)).
Ciągi, które mają granice właściwe (liczbowe) nazywa się zbieżnymi, natomiast ciągi, których granica nie istnieje lub jest równa \(\pm \infty\) nazywamy rozbieżnymi.
Poniżej trzy ważne twierdzenia o ciągach zbieżnych (o jednoznaczności granicy, o ograniczoności i monotoniczności ciągu zbieżnego):
TWIERDZENIE 1: Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
TWIERDZENIE 2: Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej (czyli do jakiejś liczby), to jest ograniczony. Nie oznacza to jednak, że każdy ciąg ograniczony jest zbieżny, np. ciąg \(a_n=(-1)^n\) jest ograniczony, ale nie jest zbieżny.
TWIERDZENIE 3: Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
6.1. Granice właściwe i niewłaściwe - definicje
Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy właściwej \(g\in\mathbb{R}\), czyli
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=g\]
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):
\[|a_n-g|<\epsilon\]
Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(\infty\), czyli
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\]
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):
\[a_n>\epsilon\]
Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\), czyli
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-\infty\]
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):
\[a_n<\epsilon\]
7. Jak liczyć granice właściwe ciągów?
Dla każdej funkcji ciągłej \(f(x)\) w otoczeniu punktu \(x=a\) oraz ciągu \(a_n\) zbieżnego do punktu \(a\), tj.:\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\]prawdziwy jest następujący wzór:\[\lim\limits_{n\to \infty}f(a_n)=f\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)=f(a)\]
Przykład 1
Mamy \(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0\) oraz funkcja \(f(x)=\sin(x)\) jest ciągła, zatem:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\sin\left(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\right)=\sin(0)=0\]
Przykład 2
Mamy \(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n}+1\right)=1\) oraz funkcja \(f(x)=\ln(x)\) jest ciągła, zatem:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\ln\left(\frac{1}{n}+1\right)=\ln\left(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n}+1\right)\right)=\ln(0+1)=0\]
Oto pozostałe reguły, które należy stosować przy liczeniu granic właściwych ciągów:
Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych, to:
Granica sumy ciągów jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{n\to \infty}\big(a_n+ b_n\big)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n+ \lim\limits_{n\to \infty}b_n\]
Granica różnicy ciągu jest równa różnicy granic:\[\lim\limits_{n\to \infty}\big(a_n- b_n\big)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n-\lim\limits_{n\to \infty}b_n\]
Granica iloczynu liczby (stałej) przez ciąg jest równa iloczynowi liczby przez granicę ciągu:\[\lim\limits_{n\to \infty}\big(c\cdot a_n\big)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty}a_n,\,\,\textrm{gdzie}\,c\in\mathbb{R}\]
Granica iloczynu ciągu jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{n\to \infty}\big(a_n\cdot b_n\big)=\big(\lim\limits_{n\to \infty}a_n\big)\cdot \big(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\big)\]
Granica ilorazu ciągu jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty}a_n}{\lim\limits_{n\to \infty}b_n},\,\,\textrm{gdy}\,\,\lim\limits_{n\to \infty}b_n\neq 0\]
Granica ciągu \((a_n)\) podniesionego do potęgi równej ciągowi \((b_n)\) jest równa potędze granic tych ciągów:\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\big(a_n\big)^{b_n}\right)=\left(\lim\limits_{n\to \infty}a_n\right)^{\left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right)}\]
Granica ciągu pierwiastka k-tego stopnia z ciągu \((a_n)\) jest równa pierwiastkowi k-tego stopnia z granicy ciągu \((a_n)\):\[\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty}a_n}\,\,\textrm{gdzie}\,\,k=2,3,4,...\]
Przykład 1
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2+1}\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2}{n}+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2+1}=0+0=0\]
Przykład 2
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sin\left(\pi+\frac{1}{n}\right)=\left(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}\sin\left(\pi +\frac{1}{n}\right)\right)=0\cdot \sin(\pi)=0\]
Przykład 3
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}+1}{2+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^4}+1\right)}{\lim\limits_{n\to \infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\frac{0+1}{2+0}=\frac{1}{2}\]
Przykład 4
\[\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{1}{n}}=\big(\lim\limits_{n\to \infty}e\big)^{\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}}=e^{0}=1\]
UWAGA: Powyższe własności są prawdziwe tylko dla granic właściwych ciągów, czyli dla granic będących liczbami. Własności te nie są prawdziwe dla granic niewłaściwych (nieskończonych).
7.1. Granice ciągów - podstawowe wzory
Oto kilka wzorów na granice podstawowych ciągów:
Granica z potęgą:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{A}{n^p}=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\,A\in\mathbb{R},\,p>0\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\]
Granica z silnią:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{A^n}{n!}=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\,A>0\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n!}=0\]
Granica pierwiastka n-tego stopnia z n:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]
Granica pierwiastka n-tego stopnia z liczby dodatniej:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{A}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>0\]
Granice nieskończone:
\[\lim\limits_{n\to\infty} n^p=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>0\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} n=\infty\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} n^n=\infty\]
Granice ciągu geometrycznego:
\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>1\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|A|<1\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n\,-\textrm{nie istnieje},\,\,\,\textrm{dla},\,\,\,A\le -1\]
Granice z liczbą Eulera \(e\):
\[\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e,\,\,\textrm{dla każdego ciągu}\,\,a_n\to \infty\]
7.2. Twierdzenie o trzech ciągach
stosuje się do obliczania granic właściwych, w których występują ciągi ograniczone przez inne ciągi lub liczby (dla \(n\) większych od pewnego \(n_0\)), np. \(\sin n,\, \cos n\), \(\frac{1}{n}\) oraz ciągi, których granice nie istnieją, np. \(\lim\limits_{n\to \infty} \sin n\) nie istnieje.
Oto treść twierdzenia:
Jeżeli ciągi \((a_n),\,(b_n),\,(c_n)\) spełniają warunki\[a_n\le b_n \le c_n,\,\,\,dla\,\,\,\,n>n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty}c_n=g\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=g\]
Przykład:
Wykarzemy, że granica ciągu \(\frac{\sin n}{n^2}\) jest równa 0, czyli:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]
Zauważmy, że dla wszystkich \(n\in \mathbb{N}\):
\[\frac{-1}{n^2}\le \frac{\sin n}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\]
ponieważ \(\sin(n)\in[-1,1]\), ponadto:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{-1}{n^2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0\]
Zatem z Twierdzenia o 3 ciągch mamy:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]
Poniżej znajdziesz przykłady ciągów występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 ciągch:
\[-1\le \sin n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-1\le \cos n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, n\le \frac{\pi}{2},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[0\le arcctg\, n\le \pi,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
7.3. Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera
Z twierdzenia o trzech ciągach wynika następujący przydatny fakt:
Jeżeli ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, a ciąg \((b_n)\) jest zbieżny do zera, czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n b_n=0\]
Powyższe twierdzenie można udowodnić następująco. Zauważmy, że, gdy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, to istnieją stałe \(D\) i \(G\), takie, że:
\[D\le |a_n| \le G\]
Stąd
\[D|b_n|\le |a_n\cdot b_n|\le G|b_n|\]
Obliczmy teraz granice ciągów ograniczających:
\[\lim\limits_{n\to \infty} D|b_n|=D\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]
\[\lim\limits_{n\to \infty} G|b_n|=G\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]
ponieważ \(\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\).
Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:
\[\lim\limits_{n\to \infty} |a_n b_n|=0\]
co jest równoważne z faktem, że:
\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n b_n=0\]
8. Twierdzenie o dwóch ciągach
Przy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują ciągi ograniczone z dołu (lub z góry) przez inne ciągi oraz ciągi, których granice nie istnieją, przydatne jest czasami twierdzenie o 2 ciągch:
Jeżeli ciągi \((a_n)\) i \((b_n)\) spełniają warunki:\[a_n\le b_n,\,\,\,dla\,\,\,n>n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\infty\]
UWAGA: Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie dla granicy niewłaściwej ciągu równej \(-\infty\).
Przykład
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągch uzasadnimy, że:
\[\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\]
Następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\):
\[-1+e^n\le \sin n+e^n\]
ponieważ \(\sin n\ge -1\) dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\).
Mamy:
\[\lim\limits_{n\to \infty}(-1+e^n)=\infty\]
Zatem z twierdzenia o dwóch ciągch \(\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\).
9. Symbole nieoznaczone
lub wyrażenia nieoznaczone, to wyrażenia umowne, które stosuje się przy liczeniu granic ciągu, np. gdy licznik i mianownik zbiegają do zera, tak jak w granicy:
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\left[\frac{0}{0}\right]\]
Oto pełna lista 7 symboli nieoznaczonych:
\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\,[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]
Zapamiętaj, że wyrażenia nieoznaczone nie mają znaczenia liczbowego, bo np, nie można dzielić przez 0, a nieskończoność \(\infty\) to nie liczba tylko obiekt matematyczny.
Wartości tych wyrażeń są różne w przypadku różnych ciągów.
UWAGA: Z symbolami nieoznaczonymi trzeba bardzo uważać. Zwykle:\[\left[\frac{0}{0}\right]\neq 1\]\[\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\neq 1\]\[[\infty-\infty]\neq 0\]\[[0\cdot \infty]\neq 0\]\[\big[1^{\infty}\big]\neq 1\]\[\big[\infty^0\big]\neq 1\]\[\big[0^0\big]\neq 1\]Nie możesz stosować tu żadnych regułek wyuczonych na pamięć (każdy z tych symoli może dać różne wyniki)!
Jeszcze jedno, symbolami nieoznaczonymi nie są wyrażenia typu:
\[\left[\frac{A}{\infty}\right],\,\,\textrm{dla}\,A\in\mathbb{R},\,\,\,[\infty+\infty],\,\,\,[\infty\cdot \infty],\,\,\,\left[\infty^{\infty}\right]\]
Wyniki takich granic możesz bez problemu obliczyć (są zawsze takie same):
\[\left[\frac{A}{\infty}\right]=0\]\[[\infty+\infty]=\infty\]\[[\infty\cdot \infty]=\infty\]\[\left[\infty^{\infty}\right]=\infty\]
9.1. Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?
Bardzo często wystarczy wykonać proste przekształcenie, dzięki któremu można łatwo pozbyć się symbolu nieoznaczonego z granicy ciągu:
1. Spróbuj wyciągnąć \(n\) do najwyższej potęgi przed nawias (jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to wyciągnij najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku i skróć co się da).
2. Jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to zastosuj rozkład na czynniki lub zastosuj wzór skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku, następnie skróć co się da.
Przykład
Ile wynosi granica ciągu \(\frac{n^2-1}{n-1}\)?
Sposób I
Wyciągniemy n do najwyższej potęgi z licznika i mianownika.
W tym przypadku najwyższa potęga to 2, więc wyciągniemy \(n^2\):
\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]
Sposób II
Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n-1}=\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=+\infty\]
10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?
1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"
\[\color{red}{g+\infty=\infty+g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g\le \infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+n\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim\limits_{n\to \infty} n=0+\infty=+\infty\]
2. Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"
\[\color{red}{g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(5n^2\right)=5\lim\limits_{n\to \infty}n^2=5\cdot \infty=+\infty\]
3. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0
\[\color{red}{\frac{g}{\infty}=0},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g<\infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{7}{n^2}=\frac{7}{\lim\limits_{n\to \infty}n^2}=\left[\frac{7}{\infty}\right]=0\]
4. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"
\[\color{red}{\frac{g}{0^+}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g<\infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to 0}\frac{14}{n^2}=\frac{14}{\lim\limits_{n\to \infty}n^2}=\left[\frac{14}{0^+}\right]=+\infty\]
5. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1
\[\color{red}{g^{\infty}=0},\,\,\,gdy\,\,\,0<g<1\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{\ln n}=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{\infty}\right]=0\]
6. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1
\[\color{red}{g^{\infty}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,1<g\le \infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}2^{\ln n}=\left[\left(2\right)^{\infty}\right]=+\infty\]
7. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna
\[\color{red}{\infty^{g}=0},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g< 0\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\ln n\right)^{-2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{(\ln n)^2}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0\]
8. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia
\[\color{red}{\infty^{g}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]
Przykład
\[\lim\limits_{n\to \infty}\left(\ln n\right)^{2}=\left[\left(\infty\right)^{2}\right]=+\infty\]
11. Jak liczyć granice ciągów w kalkulatorze wolframalpha.com?
Na stronie wolframalpha.com możesz policzyć dowolną granicę ciągu, np. żeby obliczyć granicę ciągu liczbowego \(\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\sqrt{n}}\), wystarczy wpisać:
Inne przykłady:
Granicę ciągu
\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2+1}{\sin(n)+2n}\)
wpiszesz za pomocą polecenia
lim (n^2+1)/(sinn+2n) as n->inf
Granicę ciągu
\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n+1}\)
wpiszesz za pomocą polecenia
12. Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne
1. O ciągu \(a_n\) wiadomo, że
\[3\le a_n \le 4,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]
Czy ciąg \(a_n\) jest ograniczony z dołu, z góry, a może jest ograniczony?
2. Ciąg \(a_n\) jest utworzony przez liczby nieparzyste. Czy ten ciąg jest monotoniczny?
3. Oblicz granicę ciągu
\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\]
4. Oblicz granicę ciągu
\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\]
Zrób kolejny krok i ucz się granic ciągów na przykładach
Komentarzy (0)