NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Logowanie

>> SPRAWDŹ WIDEO KURS POWTÓRKA Z KOMBINATORYKI I PRAWDOPODOBIEŃSTWA Z CERTYFIKATEM UKOŃCZENIA <<

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\)

Rozwiązanie

Przestrzeń \(\Omega\) zdarzeń elementarnych stanowi zbiór:

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\]

Liczność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi:

\[|\Omega|=11\]

Zdarzenie \(A\), którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na wylosowaniu liczby podzielnej przez 4, czyli:

\[A=\{4,8\}\]

Wśród liczb \(1,2,3,...,11\) są dwie liczby podzielne przez 4, więc:

\[|A|=2\]

Zatem na mocy klasycznej definicji praprawdopodobieństwa, szansa wylosowania liczby podzielnej przez 4 wynosi:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{11}\]

Odp.  Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 spośród liczb \(1,2,3,...,11\) wynosi \(\frac{2}{11}\)

Wskazówki

Co to jest prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję \(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną na \(\sigma\)-ciele zdarzeń \(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega}\), która spełnia warunki (aksjomaty):

  1. \(P(A)\geq 0\) dla każdego \(A\subset\mathcal{F}\)
  2. \(P(\Omega)=1\)
  3. Jeżeli \(A_n\subset \mathcal{F}\) dla \(n=1,2,3,...\) oraz \(A_i\cap A_j=\emptyset\) dla \(i\neq j\) to:
    \[P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}A_n\right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(A_n)\]

Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka nazywana przestrzenią probabilistyczną:

\[(\Omega,\mathcal{F},P)\]

 Prawdopodobieństwo klasyczne

Używane symbole:

\(\Omega\) - przestrzeń zdarzeń elementarnych (które mają takie same prawdopodobieństwa wystąpienia)

\(|\Omega|\) - liczba wszytkich zdarzeń elementarnych w zbiorze \(\Omega\)  (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych)

\(A\) - zdarzenie losowe stanowiące podzbiór zbioru \(\Omega\), czyli \(A\subseteq \Omega\)

\(|A|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(A\)  (liczność zbioru \(A\), liczba zdarzeń sprzyjających)

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) liczymy ze wzoru:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

Wyjaśnienie: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) jest równe ilorazowi liczności zbioru \(A\) przez liczność całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\).

Jeszcze inaczej, jest to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do wszystkich zdarzeń elementarnych.

Komentarzy (0)