Start 
Z talii 52 kart losowo wybieramy 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie karty będą czarne.
Rozwiązanie
Kolejność losowania kart nie ma znaczenia (ważne jakie karty dostaniemy, ale nie jest ważne w jakiej kolejności) i karty nie mogą się powtarzać (po wylosowaniu karty odkładamy ją na bok i nie bierze ona ponownie udziału w losowaniu) . Przestrzeń \(\Omega\) zdarzeń elementarnych stanowią 5-elementowe podzbiory zbioru 52 kart.
Liczność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych obliczymy stosując kombinacje 5-elementowe ze zbioru 52-elementowego (ponieważ kolejność losowania nie ma znaczenia i karty nie mogą się powtarzać):
\[|\Omega|={{52}\choose{5}}\]
Zdarzenie \(A\), którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na wylosowaniu 5 kart koloru czarnego, czyli 5-elementowego podzbioru zbioru 26 czarnych kart (mamy 26 kart czarnego koloru "Piki" i "Trefle" oraz 26 kart czerwonego koloru "Karo" i "Kier", w sumie 52 karty w talii).
\[|A|={{26}\choose{5}}\]
Zatem na mocy klasycznej definicji praprawdopodobieństwa, szansa wylosowania pięciu kart czarnych jest równe:
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{{26}\choose{5}}{{52}\choose{5}}=\frac{\frac{26!}{5!\cdot 21!}}{\frac{52!}{5!\cdot 47!}}=\]
\[=\frac{22\cdot 23\cdot 24\cdot 25\cdot 26}{5!}\cdot \frac{5!}{48\cdot 49\cdot 50\cdot 51\cdot 52}=\frac{22\cdot 23\cdot 24\cdot \not25\cdot 26}{48\cdot 49\cdot 50\cdot 51\cdot 52}=\]
\[=\frac{22\cdot 23}{2\cdot 49\cdot 2\cdot 51\cdot 2}=\frac{11\cdot 23}{4\cdot 49\cdot 51}=\frac{253}{9996}\approx 0,025\]
Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania 5 kart czarnych z talii 52 kart jest równe \(\frac{253}{9996}\)
Wskazówki
Co to jest prawdopodobieństwo?
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję \(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną na \(\sigma\)-ciele zdarzeń \(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega}\), która spełnia warunki (aksjomaty):
- \(P(A)\geq 0\) dla każdego \(A\subset\mathcal{F}\)
- \(P(\Omega)=1\)
- Jeżeli \(A_n\subset \mathcal{F}\) dla \(n=1,2,3,...\) oraz \(A_i\cap A_j=\emptyset\) dla \(i\neq j\) to:
\[P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}A_n\right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(A_n)\]
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka nazywana przestrzenią probabilistyczną:
\[(\Omega,\mathcal{F},P)\]
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\(\Omega\) - przestrzeń zdarzeń elementarnych (o takim samym prawdopodobieństwie)
\(|\Omega|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(\Omega\) (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych)
\(A\) - zdarzenie losowe stanowiące podzbiór zbioru \(\Omega\), czyli \(A\subseteq \Omega\)
\(|A|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(A\) (liczność zbioru \(A\))
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) liczymy ze wzoru:
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]
Wyjaśnienie: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) jest równe ilorazowi liczności zbioru \(A\) przez liczność całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\).
Kiedy stosować kombinacje a kiedy wariacje?
Zastosuj kombinacje gdy NIE JEST ważna kolejność losowanych obiektów
Zastosuj wariacje gdy JEST ważna kolejność losowanych obiektów
! oznacza symbol silni:
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot n\]
\(n\choose k\) to symbol Newtona:
\[{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Kombinacje k-elementowe z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[C_{n-1+k}^{n-1}=\overline{C}_n^k={{n-1+k}\choose {n-1}}=\frac{(n-1+k)!}{(n-1)!k!}\]
Prawdziwa jest równość:
\[{{n-1+k}\choose {n-1}}={{n-1+k}\choose {k}}\]
Kombinacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Wariacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1),\,\,k\geq 0,\,n\geq 1\]
Wariacje k-elementowe z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[\overline{V}_n^k=n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k\,-\,razy}\]
Komentarzy (0)