NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Logowanie

>> SPRAWDŹ WIDEO KURS POWTÓRKA Z KOMBINATORYKI I PRAWDOPODOBIEŃSTWA Z CERTYFIKATEM UKOŃCZENIA <<

Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając symetryczną kostką do gry otrzymamy parzystą liczbę oczek

Rozwiązanie

Przestrzeń \(\Omega\) zdarzeń elementarnych stanowi zbiór (możemy wyrzucić od 1 do 6 oczek):

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\]

Liczność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi:

\[|\Omega|=6\]

Zdarzenie \(A\), którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na wylosowaniu liczby parzystej, czyli podzielnej przez 2:

\[A=\{2,4,6\}\]

Wśród liczb \(1,2,3,4,5,6\) są 3 liczby parzyste (podzielne przez 2), więc:

\[|A|=3\]

Na mocy klasycznej definicji praprawdopodobieństwa, szansa wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Odp.  Prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek w rzucie symetryczną kostką do gry wynosi \(\frac{1}{2}\).

Wskazówki

Co to jest prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję \(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną na \(\sigma\)-ciele zdarzeń \(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega}\), która spełnia warunki (aksjomaty):

  1. \(P(A)\geq 0\) dla każdego \(A\subset\mathcal{F}\)
  2. \(P(\Omega)=1\)
  3. Jeżeli \(A_n\subset \mathcal{F}\) dla \(n=1,2,3,...\) oraz \(A_i\cap A_j=\emptyset\) dla \(i\neq j\) to:
    \[P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}A_n\right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(A_n)\]

Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka nazywana przestrzenią probabilistyczną:

\[(\Omega,\mathcal{F},P)\]

Jak obliczyć prawdopodobieństwo klasyczne?

Oznaczenia:

\(\Omega\) - przestrzeń zdarzeń elementarnych (które mają takie same prawdopodobieństwa wystąpienia)

\(|\Omega|\) - liczba wszytkich zdarzeń elementarnych w zbiorze \(\Omega\)  (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych)

\(A\) - zdarzenie losowe stanowiące podzbiór zbioru \(\Omega\), czyli \(A\subseteq \Omega\)

\(|A|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(A\)  (liczność zbioru \(A\), liczba zdarzeń sprzyjających)

Wzór na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\):

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

Wyjaśnienie: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) jest równe ilorazowi liczności zbioru \(A\) przez liczność całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\).

Jeszcze inaczej, jest to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do wszystkich zdarzeń elementarnych.

Komentarzy (0)