Start 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając dwukrotnie symetryczną kostką do gry otrzymamy dwa razy liczbę 6
Rozwiązanie
Zadanie to można rozwiązać co najmniej na dwa sposoby :-)
Sposób I
Przestrzeń \(\Omega\) zdarzeń elementarnych stanowi zbiór złożony z dwuelementowych ciągów złożonych z liczb 1,2,3,4,5,6:
\[\Omega=\{(i,j):\,\,i,j=1,2,3,4,5,6\}\]
Liczność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi:
\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]
Zdarzenie \(A\), którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na dwukrotnym wyrzuceniu 6 oczek, czyli:
\[A=\{(6,6)\}\]
:Zbiór \(A\) zawiera tylko jeden ciąg, więc:
\[|A|=1\]
Na mocy klasycznej definicji praprawdopodobieństwa, szansa wyrzucenia w dwóch rzutach kostką dwukrotnie liczby 6 wynosi:
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{36}\]
Odp. Prawdopodobieństwo otrzymania dwa razy 6 w dwóch rzutach symetryczną kostką wynosi \(\frac{1}{36}\).
Sposób II
Traktując wyrzucenie liczby 6 na kostce do gry jako sukces możemy skorzystać ze schematu Bernouliiego.
Wypiszmy dane:
\(n=2\) - liczba rzutów kostką do gry
\(k=2\) - liczba sukcesów, czyli wyrzucenie szóstek
\(p=\frac{1}{6}\) - prawdopodobieństwo sukcesu (wyrzucenie 6)
\(q=1-p=\frac{5}{6}\) - prawdopodobieństwo porażki, czyli wyrzucenia każdej innej liczby oczek poza 6 (czyli 1, 2, 3, 4, 5 oczek)
W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w n próbach \(P_n(k)\) liczymy ze wzoru:
\[P_n(k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}\]
Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek w dwóch rzutach kostką (dwa sukcesy w dwóch próbach) wynosi:
\[P_2(2)={2\choose 2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0}=1\cdot \frac{1}{36}\cdot 1=\frac{1}{36}\]
Wskazówki
Co to jest prawdopodobieństwo?
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję \(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną na \(\sigma\)-ciele zdarzeń \(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega}\), która spełnia warunki (aksjomaty):
- \(P(A)\geq 0\) dla każdego \(A\subset\mathcal{F}\)
- \(P(\Omega)=1\)
- Jeżeli \(A_n\subset \mathcal{F}\) dla \(n=1,2,3,...\) oraz \(A_i\cap A_j=\emptyset\) dla \(i\neq j\) to:
\[P\left(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}A_n\right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(A_n)\]
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka nazywana przestrzenią probabilistyczną:
\[(\Omega,\mathcal{F},P)\]
Jak obliczyć prawdopodobieństwo klasyczne?
Oznaczenia:
\(\Omega\) - przestrzeń zdarzeń elementarnych (które mają takie same prawdopodobieństwa wystąpienia)
\(|\Omega|\) - liczba wszytkich zdarzeń elementarnych w zbiorze \(\Omega\) (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych)
\(A\) - zdarzenie losowe stanowiące podzbiór zbioru \(\Omega\), czyli \(A\subseteq \Omega\)
\(|A|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(A\) (liczność zbioru \(A\), liczba zdarzeń sprzyjających)
Wzór na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\):
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]
Wyjaśnienie: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) jest równe ilorazowi liczności zbioru \(A\) przez liczność całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\).
Jeszcze inaczej, jest to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do wszystkich zdarzeń elementarnych.
Schemat Bernoulliego
Wzór na prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w n próbach \(P_n(k)\):
\[P_n(k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}\]
gdzie \(0\le k\le n\), \(p\) prawdopodobieństwo sukcesu, natomiast \(q=1-p\) prawdopodobieństwo porażki.
Ponadto \(n\choose k\) to symbol Newtona, który liczymy ze wzoru:
\[{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
gdzie \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n\) oznacza silnię liczby n.
Komentarzy (1)
ocena V+ to jest minimum z prawdopodobieństwe