Start 
Stosując rozwinięcie Laplace'a udowodnić wzór na wyznacznik stopnia 2
\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]
Rozwiązanie
Stosujemy rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza:
\[det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot det[a_{22}]+a_{12}\cdot (-1)^{1+2} \cdot\det[a_{21}]=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\]
Wskazówki
Rozwinięcie Laplace'a
służy do obliczania wyznaczników dowolnych stopni. W przypadku macierzy A stopnia n, schemat metody Laplace'a wygląda następująco:
1. Wybieramy wiersz lub kolumnę macierzy, w której znajduje się najwięcej zer
2. "Rozwijamy" wyznacznik względem wybranego wiersza lub kolumny wyliczając wyznaczniki macierzy stopni n-1 (dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów).
W przypadku rozwinięcia względem i-tego wiersza (gdzie \(i=1,2,\ldots,n\)) schemat metody Laplace'a wygląda następująco:
\[\det A=a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det A_{i1}+a_{i2}\cdot (-1)^{i+2}\cdot\det A_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot (-1)^{i+j} \cdot\det A_{in}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot (-1)^{i+k}\cdot \det A_{ik}\]
gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (\(\det A_{ij}\) to minor macierzy), np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.
Zauważ, że \((-1)^{i+k}\) będzie na przemian równe -1 i 1 lub 1 i -1, więc w rozwinięciu Laplace'a kolejne wyrażenia mają na przemian znak minus i plus (lub plus i minus).
Dla przykładu, gdy \(i=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszego wiersza:
\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{12}\cdot (-1)^{1+2}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{12}\cdot\det A_{12}+\ldots +a_{1n}\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det A_{1n}\]
W przypadku rozwinięcia względem j-tej kolumny (gdzie \(j=1,2,\ldots,n\)) mamy następujący wzór na wyznacznik:
\[\det A=a_{1j}\cdot (-1)^{1+j}\cdot \det A_{1j}+a_{2j}\cdot (-1)^{2+j}\cdot \det A_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot (-1)^{n+j}\cdot\det A_{nj}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot (-1)^{k+j}\cdot\det A_{kj}\]
np. gdy \(j=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszej kolumny:
\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{21}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}\]
Używając dopełnień algebraicznych rozwinięcie Laplace'a względem i-tego wiersza można zapisać następująco:
\[\det A=a_{i1}\cdot D_{i1}+a_{i2}\cdot D_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot D_{in}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot D_{ik}\]
Natomiast rozwinięcie względem j-tej kolumny wygląda tak:
\[\det A=a_{1j}\cdot D_{1j}+a_{2j}\cdot D_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot D_{nj}=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot D_{kj}\]
Komentarzy (0)