W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Stosując operacje elementarne oblicz wyznacznik macierzy

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Zauważ, że pierwszy i trzeci wiersz tej macierzy są takie same, więc wykonajmy operację elementarną \(w_1-w_3\),
czyli odejmijmy od elementów pierwszego wiersza odpowiadające im elementy stojące w wierszu 3:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]

W ten sposób otrzymujemy macierz, która ma same zera w pierwszym wierszu.
Teraz możemy zastosować rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i mamy:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0+0+0=0\]

Ostatecznie, ponieważ wykonana operacja elementarna nie zmienia wartości wyznacznika naszej wyjściowej macierzy, więc:

\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0\]

Wskazówki

Upraszczanie obliczeń wyznacznika za pomocą operacji elementarnych

Najłatwiej i najszybciej liczy się wyznaczniki, w których występuje wiele zer.

Do rozwinięcia Laplace'a warto wybierać ten wiersz lub kolumnę, w którym jest najwięcej zer, wtedy oszczędzimy sobie liczenia depłnień algebraicznych, czyli wyznaczników o stopień niższych niż wyjściowa macierz.

Operacja elementarna polega na dodawaniu do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) tej macierzy pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, oznacza się to przez:

\[w_{i}+c\cdot w_j\]lub\[k_{i}+c\cdot k_j,\]

gdzie \(c\in\mathbb{R}\) oraz \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy).

Powyższa operacja elementarna na wierszach lub kolumnach nie zmienia wartości wyznacznika macierzy.

UWAGA: Oznaczenie \(\xrightarrow{w_1+cw_j}\), które pojawia się, gdy stosujemy operacje elementarne można zastąpić oznaczeniem \(\stackrel{w_i+cw_j}{=}\). Pamiętaj, że wartość wyznacznika, który otrzymujemy na końcu, po wykonaniu wszystkich operacji elementarnych jest równa wartości wyjściowego wyznacznika (który tak naprawdę chcemy policzyć).

 

Komentarzy (0)