Start 
Stosując operacje elementarne oblicz wyznacznik macierzy
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]
Rozwiązanie
Zauważ, że pierwszy i trzeci wiersz tej macierzy są takie same, więc wykonajmy operację elementarną \(w_1-w_3\),
czyli odejmijmy od elementów pierwszego wiersza odpowiadające im elementy stojące w wierszu 3:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\]
W ten sposób otrzymujemy macierz, która ma same zera w pierwszym wierszu.
Teraz możemy zastosować rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i mamy:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1-w_3}\det\begin{bmatrix}0&0&0\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0+0+0=0\]
Ostatecznie, ponieważ wykonana operacja elementarna nie zmienia wartości wyznacznika naszej wyjściowej macierzy, więc:
\[\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-4&1&0\\1&2&3\end{bmatrix}=0\]
Wskazówki
Upraszczanie obliczeń wyznacznika za pomocą operacji elementarnych
Najłatwiej i najszybciej liczy się wyznaczniki, w których występuje wiele zer.
Do rozwinięcia Laplace'a warto wybierać ten wiersz lub kolumnę, w którym jest najwięcej zer, wtedy oszczędzimy sobie liczenia depłnień algebraicznych, czyli wyznaczników o stopień niższych niż wyjściowa macierz.
Operacja elementarna polega na dodawaniu do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) tej macierzy pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, oznacza się to przez:
\[w_{i}+c\cdot w_j\]lub\[k_{i}+c\cdot k_j,\]
gdzie \(c\in\mathbb{R}\) oraz \(w_i,\, w_j\) to i-ty i j-ty wiersz macierzy (\(k_i,\,k_j\) to i-ta i j-ta kolumna macierzy).
Powyższa operacja elementarna na wierszach lub kolumnach nie zmienia wartości wyznacznika macierzy.
UWAGA: Oznaczenie \(\xrightarrow{w_1+cw_j}\), które pojawia się, gdy stosujemy operacje elementarne można zastąpić oznaczeniem \(\stackrel{w_i+cw_j}{=}\). Pamiętaj, że wartość wyznacznika, który otrzymujemy na końcu, po wykonaniu wszystkich operacji elementarnych jest równa wartości wyjściowego wyznacznika (który tak naprawdę chcemy policzyć).
Komentarzy (0)