NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyprowadź wzór na całkowanie przez podstawienie

\[\int f(g(x))g'(x)\, dx=\int f(t)dt=F(g(x))+c\]

gdzie \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\).

Rozwiązanie

Mamy:

\[\int f(g(x))g'(x)\, dx=\left|\begin{array}{c}Podstawiamy:\\ g(x)=t\\ g'(x)dx=dt\end{array}\right|=\int f(t)dt=F(t)+c=F(g(x))+c\]

Wskazówki

1. W rozwiązaniu wykorzystujemy wzór wiążący pochodną z różniczką funkcji:

\[g'(x)=\frac{dg(x)}{dx}\]

Po przekształceniu powyższego wzoru i zastosowaniu założenia, że \(g(x)=t\), mamy:

\[g'(x)dx=dg(x)=dt\]

2. W przedostatniej równości wykorzystujemy założenie, że \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), co oznacza, że:

\[\int f(t)\,dt=F(t)+c\]

3. W ostatniej równości wracamy z podstawieniem do zmiennej x, ponieważ \(t=g(x)\).