Start 
Wyprowadź wzór na całkowanie przez części
\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]
Rozwiązanie
Całkowanie przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Mamy:
\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
Przenieśmy wyrażenie \(f(x)g'(x)\) na lewą stronę równości (odejmujemy to wyrażenie od obu stron):
\[(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)\]
Całkujemy obie strony równości i mamy:
\[\int (f(x)g(x))'\,dx-\int f(x)g'(x)\,dx=\int f'(x)g(x)\,dx\]
Odwracamy równość (a=b, to to samo, co b=a) oraz stosujemy wzór \(\int (f(x)g(x))'\,dx=f(x)g(x)\), który wynika wprost z definicji całki (operacja odwrotna do różniczkowania):
\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]
Wskazówki
W rozwiązaniu wykorzystujemy oczywisty fakt:
jeżeli \(f(x)=g(x)\) to \(\int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx\).
Zobacz przykłady całkowania przez części.
Komentarzy (0)