NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyprowadź wzór stosując całkowanie przez podstawienie

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=\ln|f(x)|+c\]

Rozwiązanie

Zastosujemy całkowanie przez podstawienie:

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=\left|\begin{array}{c}Podstawiamy:\\f(x)=t\\f'(x)dx=dt \end{array}\right|=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+c=\ln|f(x)|+c\]

Wskazówki

1. W rozwiązaniu wykorzystujemy wzór wiążący pochodną z różniczką funkcji:

\[f'(x)=\frac{df(x)}{dx}\]

Po przekształceniu powyższego wzoru i zastosowaniu założenia, że \(f(x)=t\), mamy:

\[f'(x)dx=df(x)=dt\]

2. W przedostatniej równości wykorzystujemy wzór na całkę funkcji \(t^{-1}\):

\[\int \frac{1}{t}\,dt=\ln |t|+c\]

3. W ostatniej równości wracamy z podstawieniem do zmiennej x, ponieważ \(t=f(x)\).