W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu

\[W(x)=4x^4-7x^2-5x-1\]

Rozwiązanie

Pierwiastków wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego oraz wyrazu przy najwyższej potędze.

Zauważmy, że wszystkie współczynniki naszego wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi.

Dzielnikami wyrazu wolnego \(a_0=-1\) naszego wielomianu są liczby:

\[1,-1\]

Dzielnikami wyrazu przy najwyższej potędze \(a_4=4\) naszego wielomianu są liczby:

\[1,-1,2,-2,4,-4\]

Zapisujemy wszystkie możliwe kombinacje liczb \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(q\) jest dzielnikiem wyrazu \(a_4\):

\[\frac{1}{1},\,\frac{-1}{1},\,\frac{1}{-1},\,\frac{-1}{-1},\,\frac{1}{2},\,\frac{-1}{2},\,\frac{1}{-2},\,\frac{-1}{-2},\,\frac{1}{4},\,\frac{-1}{4},\,\frac{1}{-4},\,\frac{-1}{-4}\]

Eliminujemy powtarzające się liczby i mamy 6 liczb:

\[1,\,-1,\,\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{4}\]

które mogą być pierwiastkami wymiernaymi wielomianu \(W(x)\).

Sprawdzimy teraz, które z powyższych liczb są pierwiastkami wielomianu.

Liczymy wartości wielomianu dla powyższych wartości i sprawdzamy, dla których są równe zero:

\[{W\left(1\right)=4\cdot 1^4-7\cdot 1^2-5\cdot 1-1=4-7-5-1\neq 0}\]

\[{W\left(-1\right)=4\cdot (-1)^4-7\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)-1=4-7+5-1\neq 0}\]

\[{W\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4-7\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2-5\cdot \frac{1}{2}-1\neq 0}\]

\[\color{red}{W\left(-\frac{1}{2}\right)=4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4-7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2-5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-1=0}\]

\[{W\left(\frac{1}{4}\right)=4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4-7\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2-5\cdot \frac{1}{4}-1\neq 0}\]

\[{W\left(-\frac{1}{4}\right)=4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4-7\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2-5\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)-1=0}\]

Odp. Jedynym pierwiastkiem wymiernym wielomianu \(W(x)\) jest liczba \(x=-\frac{1}{2}\).

Wskazówki

Jak wyznaczyć pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Wystarczy pamiętać, że każdy wymierny pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowite \(a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}\):

\[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]

 jest postaci:

\[\frac{p}{q}\]

gdzie \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\) (czyli liczby, przy której nie ma żadnego x), a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze, czyli \(a_n\).

W praktyce, aby znaleźć pierwiastki wymierne musimy:

  1. Upewnić się, że współczynniki wielomianu są całkowite, jeśli nie są to można spróbować wyciągnąć jakąś liczbę przez nawias
  2. Wypisać wszystkie dzielniki wyrazu wolnego i współczynnika przy najwyższej potędze naszego wielomianu
  3. Utworzyć wszystkie możliwe kombinacje liczb \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p\) jest jednym z dzielników \(a_0\), a \(q\) jest jednym z dzielników \(a_n\)
  4. Sprawdzić, dla których z nich wartości wielomianu są równe zero (te są pierwiastkami wielomianu)

 

Komentarzy (0)