Start 
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu
\[W(x)=x^3-2x^2-5x+6\]
Rozwiązanie
Pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy wśród dzielników jego wyrazu wolnego.
Współczynniki naszego wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, więc możemy zastosować powyższy fakt.
Dzielnikami wyrazu wolnego \(a_0=6\) naszego wielomianu są liczby:
\[1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\]
Liczymy wartości wielomianu dla powyższych liczb i sprawdzamy, dla których z nich są równe zero:
\[\color{red}{W(1)=1^3-2\cdot 1^2-5\cdot 1+6=1-2-5+6=0}\]
\[W(-1)=(-1)^3-2\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=-1-2+5+6\neq 0\]
\[W(2)=2^3-2\cdot 2^2-5\cdot 2+6=8-8-10+6\neq 0\]
\[\color{red}{W(-2)=(-2)^3-2\cdot (-2)^2-5\cdot (-2)+6=-8-8+10+6=0}\]
\[\color{red}{W(3)=3^3-2\cdot 3^2-5\cdot 3+6=27-18-15+6=0}\]
\[W(-3)=(-3)^3-2\cdot (-3)^2-5\cdot (-3)+6=-27-18+15+6\neq 0\]
\[W(6)=6^3-2\cdot 6^2-5\cdot 6+6\neq 0\]
\[W(-6)=(-6)^3-2\cdot (-6)^2-5\cdot (-6)+6\neq 0\]
Odp. Pierwiastkami całkowitymi wielomianu \(W(x)\) są liczby \(1,-2,3\).
Wskazówki
Jak wyznaczyć pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych?
Wystarczy pamiętać, że każdy całkowity pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowitych \(a_0,\,a_1,\,...,\,a_n\in\mathbb{Z}\):
\[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]
jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\) (czyli liczby, przy której nie ma żadnego x).
W praktyce, aby znaleźć pierwiastki całkowite musimy:
- Upewnić się, że współczynniki wielomianu są całkowite, jeśli nie są to można spróbować wyciągnąć jakąś liczbę przez nawias
- Wypisać wszystkie dzielniki wyrazu wolnego wielomianu
- Obliczyć wartości wielomianu dla wszystkich wypisanych dzielników
- Sprawdzić, dla których z nich wartości wielomianu są równe zero
Komentarzy (2)