W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu

\[W(x)=x^3-2x^2-5x+6\]

Rozwiązanie

Pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy wśród dzielników jego wyrazu wolnego.

Współczynniki naszego wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, więc możemy zastosować powyższy fakt.

Dzielnikami wyrazu wolnego \(a_0=6\) naszego wielomianu są liczby:

\[1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\]

Liczymy wartości wielomianu dla powyższych liczb i sprawdzamy, dla których z nich są równe zero:

\[\color{red}{W(1)=1^3-2\cdot 1^2-5\cdot 1+6=1-2-5+6=0}\]

\[W(-1)=(-1)^3-2\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=-1-2+5+6\neq 0\]

\[W(2)=2^3-2\cdot 2^2-5\cdot 2+6=8-8-10+6\neq 0\]

\[\color{red}{W(-2)=(-2)^3-2\cdot (-2)^2-5\cdot (-2)+6=-8-8+10+6=0}\]

\[\color{red}{W(3)=3^3-2\cdot 3^2-5\cdot 3+6=27-18-15+6=0}\]

\[W(-3)=(-3)^3-2\cdot (-3)^2-5\cdot (-3)+6=-27-18+15+6\neq 0\]

\[W(6)=6^3-2\cdot 6^2-5\cdot 6+6\neq 0\]

\[W(-6)=(-6)^3-2\cdot (-6)^2-5\cdot (-6)+6\neq 0\]

Odp. Pierwiastkami całkowitymi wielomianu \(W(x)\) są liczby \(1,-2,3\).

Wskazówki

Jak wyznaczyć pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Wystarczy pamiętać, że każdy całkowity pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowitych \(a_0,\,a_1,\,...,\,a_n\in\mathbb{Z}\):

\[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]

 jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\) (czyli liczby, przy której nie ma żadnego x).

W praktyce, aby znaleźć pierwiastki całkowite musimy:

  1. Upewnić się, że współczynniki wielomianu są całkowite, jeśli nie są to można spróbować wyciągnąć jakąś liczbę przez nawias
  2. Wypisać wszystkie dzielniki wyrazu wolnego wielomianu
  3. Obliczyć wartości wielomianu dla wszystkich wypisanych dzielników
  4. Sprawdzić, dla których z nich wartości wielomianu są równe zero

 

Komentarzy (0)