Oblicz pierwiastki rzeczywiste wielomianu 3-go stopnia

\[W(x)=x^3-1\]

Rozwiązanie

Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki (zapisać w postaci iloczynowej).

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\):

\[W(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\]

Pierwiastki wielomianu wyznaczymy z równania:

\[W(x)=0\]

stąd

\[(x-1)(x^2+x+1)=0\]

Iloczyn wyrażeń jest równy zero, wtedy, gdy pierwsze wyrażenie jest równe zero lub drugie wyrażenie jest równe zero, dlatego:

\[x-1=0\,\,\lor\,\,x^2+x+1=0\]

Z pierwszego równania od razu widać, że:

\[x=1\]

Musimy jeszcze sprawdzić, czy równanie kwadratowe \(x^2+x+1=0\) ma pierwiastki rzeczywiste.

Liczymy deltę:

\[\Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0\]

która jest mniejsza od zera.

Zatem równanie \(x^2+x+1=0\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp.: wielomian \(W(x)\) ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty równy 1 .

Co to jest pierwiastek wielomianu?

Pierwiastki wielomianu \(W(x)\) to liczby rzeczywiste (lub zespolone), które stanowią rozwiązaniama równania:

\[W(x)=0\]

Zwróć uwagę, że gdy wielomian jest zapisany w postaci iloczynowej, czyli:

\[(*)\,\,W(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\]

to łatwo możemy odczytać jego pierwiastki, ponieważ:

\[(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)=0\]

gdy

\(x=x_1\) lub \(x=x_2\) lub .... \(x=x_n\)

Zatem pierwiastkami wielomianu w postaci iloczynowej \((*)\) są liczby \(x_1,x_2,...,x_n\).