Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu

\[W(x)=(x^2-1)(x-2)\]

Rozwiązanie

Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki (zapisać w postaci iloczynowej).

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):

\[W(x)=(x^2-1)(x-2)=(x-1)(x+1)(x-2)\]

Pierwiastki wielomianu wyznaczymy z równania:

\[W(x)=0\]

stąd

\[(x-1)(x+1)(x-2)=0\]

Zatem pierwiastkami wielomianu \(W(x)\) są liczby -1, 1 oraz 2.

Co to jest pierwiastek wielomianu?

Pierwiastki wielomianu \(W(x)\) to liczby rzeczywiste (lub zespolone), które stanowią rozwiązaniama równania:

\[W(x)=0\]

Zwróć uwagę, że gdy wielomian jest zapisany w postaci iloczynowej, czyli:

\[W(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\]

to łatwo możemy odczytać jego pierwiastki, ponieważ:

\[(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)=0\]

gdy

\(x=x_1\) lub \(x=x_2\) lub .... \(x=x_n\)

Zatem pierwiastkami wielomianu w postaci iloczynowej są liczby \(x_1,x_2,...,x_n\).