Start 
Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwumianowego
Rozwiązanie
Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym:
\[P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
gdzie \(k=0,1,2,..,n\).
Liczymy funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym:
\[\phi_X(t)\stackrel{(1)}{=}Ee^{itX}\stackrel{(2)}{=}\sum\limits_{k=0}^n P(X=k)e^{it k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} e^{itk}=\]
\[\stackrel{(3)}{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k} (p e^{it})^k (1-p)^{n-k}\stackrel{(4)}{=}(pe^{it}+1-p)^n\]
Wskazówki
(1) Korzystamy z definicji funkcji charakterystycznej
Ogólna definicja \(\phi_X:\,\mathbb{R}\to \mathbb{C}\):
\[\phi_X(t)=\int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx}\,\mu(dx)=E\left[e^{itX}\right],\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]
gdzie \(\mu_X\) jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej \(X\), \(E\) oznacza wartość oczekiwaną, natomiast \(i\) to jednostka urojona.
(2) Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym \(P(X=x_k)=p_k,\,\,k=1,2,...,n\):
\[\phi_X(t)=\sum\limits_{k=1}^n p_ke^{itx_k}=p_1 e^{itx_1}+p_2 e^{itx_2}+...+p_n e^{itx_n},\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]
(3) Korzystamy z własności potęg:
\[e^{itk}=(e^{it})^k\]
\[p^k e^{itk}=p^k(e^{it})^k=(pe^{it})^k\]
(4) Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
\[\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k} x^k y^{n-k}=(x+y)^n\]
Komentarzy (3)