Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwupunktowego

Rozwiązanie

Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym:

\[P(X=x_1)=p,\,\,\,P(X=x_2)=q\]

gdzie \(x_1,\,x_2\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, \(p\ge 0,\,\,q\ge 0\) oraz \(p+q=1\).

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym wygląda następująco:

\[\phi_X(t)=Ee^{itX}=p e^{itx_1}+q e^{it x_2}\]

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(X\)

Ogólna definicja \(\phi_X:\,\mathbb{R}\to \mathbb{C}\):

\[\phi_X(t)=\int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx}\,\mu(dx)=E\left[e^{itX}\right],\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]

gdzie \(\mu_X\) jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej \(X\), \(E\) oznacza wartość oczekiwaną, natomiast \(i\) to jednostka urojona.

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym \(P(X=x_k)=p_k,\,\,k=1,2,...,n\):

\[\phi_X(t)=\sum\limits_{k=1}^n p_ke^{itx_k}=p_1 e^{itx_1}+p_2 e^{itx_2}+...+p_n e^{itx_n},\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie ciągłym:

\[\phi_X(t)=\int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx}\,dF(x)=\int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx}f(x)\,dx,\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]

gdzie \(f(x)\) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losoewj \(X\).