Start 
Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Poissona
Rozwiązanie
Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\lambda>0\):
\[P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\,\,k=0,1,2,3,...\]
gdzie \(e\approx 2,718\) jest stałą Eulera oraz \(k!=1\cdot 2\cdot ...\cdot k\) oznacza silnię liczby k.
Liczymy funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Poissona:
\[\phi_X(t)\stackrel{(1)}{=}Ee^{itX}\stackrel{(2)}{=}\sum\limits_{k=0}^\infty P(X=k)e^{it k}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} e^{itk}=\]
\[\stackrel{(3)}{=}e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!}\stackrel{(4)}{=}e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda (e^{it}-1)}\]
Odp. Funkcja charakterystyczna rozkładu Poissona jest postaci \(\phi_X(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}\), \(t\in\mathbb{R}\).
Wskazówki
(1) Korzystamy z definicji funkcji charakterystycznej
Ogólna definicja \(\phi_X:\,\mathbb{R}\to \mathbb{C}\):
\[\phi_X(t)=\int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx}\,\mu(dx)=E\left[e^{itX}\right],\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]
gdzie \(\mu_X\) jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej \(X\), \(E\) oznacza wartość oczekiwaną, natomiast \(i\) to jednostka urojona.
(2) Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym \(P(X=x_k)=p_k,\,\,k=1,2,...,n\):
\[\phi_X(t)=\sum\limits_{k=1}^n p_ke^{itx_k}=p_1 e^{itx_1}+p_2 e^{itx_2}+...+p_n e^{itx_n},\,\,\,\,t\in\mathbb{R}\]
(3) Korzystamy z własności potęg:
\[e^{itk}=(e^{it})^k\]
\[\lambda^k e^{itk}=\lambda^k(e^{it})^k=(\lambda e^{it})^k\]
(4) Korzystamy z postaci szeregu Maclourina funkcji \(e^x\):
\[e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\]
Komentarzy (0)