W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz wyznacznik macierzy diagonalnej

Wyznacznik macierzy 5x5, zad. 16

Rozwiązanie

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów stojących na przekątnej, więc:

Wyznacznik macierzy 5x5, zad. 16 - rozwiązanie

Wskazówki

Taka własność wyznacznika macierzy diagonalnej wynika oczywiście wprost z rozwinięcia Laplace'a. Wystarczy bowiem zastosować rozwinięcie Laplace'a względem 1 kolumny (lub ostatniego wiersza).

Przy dowodzeniu ogólnego wzoru dla wyznacznika macierzy diagonalnej stopnia n, należy wykorzystać indukcję matematyczną. Szkic dowodu wygląda następująco:

  1. Najpierw zauważamy, że wzór jest prawdziwy dla n=1 i n=2
  2. Zakładamy prawdziwość wzoru dla pewnego \(k\in\mathbb{N}\) i pokazujemy prawdziwość wzoru dla k+1 korzystając z założenia indukcyjnego i rozwinięcia Laplace'a.
  3. Na mocy indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla wyznacznika macierzy diagonalnej dowolnego stopnia.

 

Komentarzy (0)