Start 
Oblicz wyznacznik macierzy diagonalnej
Rozwiązanie
Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów stojących na przekątnej, więc:
Wskazówki
Taka własność wyznacznika macierzy diagonalnej wynika oczywiście wprost z rozwinięcia Laplace'a. Wystarczy bowiem zastosować rozwinięcie Laplace'a względem 1 kolumny (lub ostatniego wiersza).
Przy dowodzeniu ogólnego wzoru dla wyznacznika macierzy diagonalnej stopnia n, należy wykorzystać indukcję matematyczną. Szkic dowodu wygląda następująco:
- Najpierw zauważamy, że wzór jest prawdziwy dla n=1 i n=2
- Zakładamy prawdziwość wzoru dla pewnego \(k\in\mathbb{N}\) i pokazujemy prawdziwość wzoru dla k+1 korzystając z założenia indukcyjnego i rozwinięcia Laplace'a.
- Na mocy indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla wyznacznika macierzy diagonalnej dowolnego stopnia.
Komentarzy (0)