Start 
Wyznacz wartości i wektory własne macierzy stopnia 4
\[A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{array}\right]\]
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie charakterystyczne (wielomian charakterystyczny), z którego obliczymy wartości własne:
\[\det(A-\lambda\cdot I)=0\]
stąd otrzymujemy:
\[\det\left[\begin{array}{cccc}1-\lambda&0&0&0\\0&2-\lambda&0&0\\0&0&3-\lambda&0\\0&0&0&4-\lambda\end{array}\right]=0\]
Wyznacznik macierzy diagonalnej liczymy mnożąc przez siebie elementy stojące na głównej przekątnej:
\[\det(A-\lambda\cdot I)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0\]
stąd:
\[\lambda_1=1,\,\,\lambda_2=2,\,\,\lambda_3=3,\,\,\lambda_4=4\]
Liczymy wektory własne odpowiadające wyznaczonym wyżej wartościom własnym.
Skorzystamy z równania:
\[(*)\,\,\,\,A\vec{v}=\lambda\cdot \vec{v}\]
Niech \(\vec{v}=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T\), wtedy:
\[A\vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]\]
natomiast:
\[\lambda\cdot \vec{v}=\lambda \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda x_1\\\lambda x_2\\\lambda x_3\\\lambda x_4\end{array}\right]\]
stąd równanie \((*)\), dla \(\lambda_1=1\) ma postać:
\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]\]
z równości macierzy mamy:
\[x_1\in\mathbb{R},\,\,x_2=x_3=x_4=0\]
Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_1=1\) jest wektor:
\[v_1=\left[\begin{array}{c}x_1\\0\\0\\0\end{array}\right],\,\,\,x_1\in\mathbb{R}\]
możemy przyjąć \(x_1=1\), wtedy:
\[v_1=\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\]
Dla \(\lambda_2=2\) równanie \((*)\) ma postać:
\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_1\\2x_2\\2x_3\\2x_4\end{array}\right]\]
z równości macierzy mamy:
\[x_2\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_3=x_4=0\]
Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_2=2\) jest wektor:
\[v_2=\left[\begin{array}{c}0\\x_2\\0\\0\end{array}\right],\,\,\,x_2\in\mathbb{R}\]
możemy przyjąć \(x_2=1\), wtedy:
\[v_2=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right]\]
Dla \(\lambda_3=3\) równanie \((*)\) ma postać:
\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1\\3x_2\\3x_3\\3x_4\end{array}\right]\]
z równości macierzy mamy:
\[x_3\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_2=x_4=0\]
Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_3=3\) jest wektor:
\[v_3=\left[\begin{array}{c}0\\0\\x_3\\0\end{array}\right],\,\,\,x_3\in\mathbb{R}\]
możemy przyjąć \(x_3=1\), wtedy:
\[v_3=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]\]
Dla \(\lambda_4=4\) równanie \((*)\) ma postać:
\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4x_1\\4x_2\\4x_3\\4x_4\end{array}\right]\]
z równości macierzy mamy:
\[x_4\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_2=x_3=0\]
Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_4=4\) jest wektor:
\[v_4=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\x_4\end{array}\right],\,\,\,x_4\in\mathbb{R}\]
możemy przyjąć \(x_4=1\), wtedy:
\[v_4=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right]\]
Wskazówki
Jak liczyć wartości i wektory własne macierzy A?
1. Rozwiąż równanie charakterystyczne - znajdź pierwiastki wielomianu charakterystycznego:
\[\det(A-\lambda I)=0\]
gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową i \(\lambda\) jest niewiadomą.
Rozwiązania (pierwiastki) są szukanymi wartościami własnymi.
2. Dla każdej ze znalezionych wartości własnych rozwiąż równanie:
\[A\vec{v}=\lambda\cdot \vec{v}\]
gdzie \(\vec{v}=[x_1,x_2,...,x_n]^T\) jest szukanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda\).
Komentarzy (0)