Podaj wszystkie minory macierzy

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}\]

Następnie określ rząd macierzy A.

Rozwiązanie

Minor to wyznacznik macierzy powstałej przez skreślanie wierszy i/lub kolumn macierzy.

Skreślamy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę i dostajemy następujący minor:

\[A_{11}=|0|=0\]

Po skreśleniu pierwszego wiersza i drugiej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{12}=|1|=1\]

Po skreśleniu drugiego wiersza i pierwszej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{21}=|2|=2\]

Po skreśleniu drugiego wiersza i drugiej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{22}=|1|=1\]

Nie skreślając żadnych wierszy i kolumn otrzymamy minor główny równy wyznacznikowi macierzy A:

\[|A|=\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=0-2=-2\]

Maksymalny stopień niezerowego minora macierzy A jest równy 2, więc rząd macierzy A wynosi 2:

\[rzA=2\]

Równoważne definicje rzędu macierzy:

Rząd macierzy jest równy liczbie schodków w macierzy schodkowej (do postaci schodkowej można doprowadzić macierz poprzez wykonywanie operacji elementarnych na wierszach i kolumnach)
Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi niezerowego minora macierzy (minor to wyznacznik macierzy powstałej przez skreślanie wierszy i/lub kolumn macierzy)
Rząd macierzy jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wektorów tworzących wiersze (kolumny) macierzy

Własności rzędu macierzy:

Operacje elementarne, które nie zmieniają rzędu macierzy:

zamiana wierszy (kolumn) między sobą (\(w_{i}\leftrightarrow w_{j}\));
dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiadających im elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę (\(w_{i}+c\cdot w_{j}\));
mnożenie całego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera (\(c\cdot w_{i}\)).