W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz macierz odwrotną przy użyciu metody Gaussa

\[A=\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Krok 1

Zapisujemy macierz blokową \([A|I]\)

\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\]

Krok 2

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|B]\),
tak aby otrzymać macierz jednostkową po lewej stronie (w miejscu macierzy A):

\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1:2}\left[\begin{array}{cc}1&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3w_1}\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]=[I|A^{-1}]\]

Krok 3

Odczytujemy macierz odwrotną, która stoi po prawej stronie macierzy jednostkowej (w prawym bloku):

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]\]

 

Wskazówki

Metoda Gaussa-Jordana (bezwyznacznikowa)

odwracanie macierzy metodą bezwyznacznikową przebiega zgodnie z następującym schematem:\[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]

Tłumacząc metodę Gaussa obliczania macierzy odwrotnej na ludzki język musisz:

  1. Zapisać macierz blokową \([A|I]\), gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową stopnia takiego jak macierz A
  2. Wykonywać takie operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|I]\), aby w miejscu macierzy A (czyli w lewym bloku) otrzymać macierz jednostkową, wtedy w miejscu macierzy \(I\) (czyli w prawym bloku) otrzymasz macierz odwrotną \(A^{-1}\),
    symbolicznie można to zapisać w postaci \([I|A^{-1}]\)
  3. Na koniec musisz odczyatać macierz odwrotną, która będzie równa macierzy stojącej po prawej stronie macierzy jednostkowej

Przykłady macierzy jednostkowej stopnia 1,2 i 3:

\[I_1=[1],\,\,\,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\,\,\,I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\]

Komentarzy (0)