Start 
Oblicz macierz odwrotną przy użyciu metody Gaussa
\[A=\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\]
Rozwiązanie
Krok 1
Zapisujemy macierz blokową \([A|I]\)
\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\]
Krok 2
Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|B]\),
tak aby otrzymać macierz jednostkową po lewej stronie (w miejscu macierzy A):
\[[A|I]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1:2}\left[\begin{array}{cc}1&0\\3&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\0&1\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-3w_1}\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]=[I|A^{-1}]\]
Krok 3
Odczytujemy macierz odwrotną, która stoi po prawej stronie macierzy jednostkowej (w prawym bloku):
\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0,5&0\\-1,5&1\end{array}\right]\]
Wskazówki
Macierz odwrotną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^{-1}\), taka macierz spełnia równanie:
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]
gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz \(A\).
Metody obliczania macierzy odwrotnych:
- ze wzoru, który wymaga obliczenia wyznacznika i dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy
- przy użyciu metody Gaussa-Jordana, która polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy, zgodnie ze schematem \[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A
Wzór na macierz odwrotną
do obliczenia macierzy odwrotnej możemy użyć następującego wzoru:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(A^D\big)^T=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn}\end{bmatrix}^T\]
gdzie \(|A|\) jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast \(D_{ij}\) są dopełnieniami algebraicznymi elementów \(a_{ij}\) macierzy A.
Macierz \(A^D\) nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.
Wzór na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]
Przykład
\[\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2\cdot 1-0\cdot 3}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\]
Zapamiętaj najważniejsze własności macierzy odwrotnej
\[\big(A^{-1}\big)^{-1}=A\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]\[\big(A^{T}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^T\]\[diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)^{-1}=diag\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\ldots,\frac{1}{d_n}\right), \,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,d_1\neq 0,\,d_2\neq 0,\ldots,d_n\neq 0\]
Metoda Gaussa-Jordana (bezwyznacznikowa)
odwracanie macierzy metodą bezwyznacznikową przebiega zgodnie z następującym schematem:\[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]
Tłumacząc metodę Gaussa obliczania macierzy odwrotnej na ludzki język musisz:
- Zapisać macierz blokową \([A|I]\), gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową stopnia takiego jak macierz A
- Wykonywać takie operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej \([A|I]\), aby w miejscu macierzy A (czyli w lewym bloku) otrzymać macierz jednostkową, wtedy w miejscu macierzy \(I\) (czyli w prawym bloku) otrzymasz macierz odwrotną \(A^{-1}\),
symbolicznie można to zapisać w postaci \([I|A^{-1}]\) - Na koniec musisz odczyatać macierz odwrotną, która będzie równa macierzy stojącej po prawej stronie macierzy jednostkowej
Przykłady macierzy jednostkowej stopnia 1,2 i 3:
\[I_1=[1],\,\,\,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\,\,\,I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\]
Komentarzy (0)