Start 
Oblicz dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy
\[\begin{bmatrix}0&-4\\1&2\end{bmatrix}\]
Rozwiązanie
Tworzymy macierz \(A_{11}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{11}=[2]\)
\[D_{11}=(-1)^{1+1}\det A_{11}=(-1)^{2}\det[2]=2\]
Tworzymy macierz \(A_{12}\) usuwając w macierzy A pierwszy wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{12}=[1]\)
\[D_{12}=(-1)^{1+2}\det A_{12}=(-1)^{3}\det[1]=-1\]
Tworzymy macierz \(A_{21}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i pierwszą kolumnę, dlatego \(A_{21}=[-4]\)
\[D_{21}=(-1)^{2+1}\det A_{21}=(-1)^{3}\det[-4]=4\]
Tworzymy macierz \(A_{22}\) usuwając w macierzy A drugi wiersz i drugą kolumnę, dlatego \(A_{22}=[0]\)
\[D_{22}=(-1)^{2+2}\det A_{22}=(-1)^{4}\det[0]=0\]
Wskazówki
Macierz odwrotną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^{-1}\), taka macierz spełnia równanie:
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]
gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz \(A\).
Metody obliczania macierzy odwrotnych:
- ze wzoru, który wymaga obliczenia wyznacznika i dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy
- przy użyciu metody Gaussa-Jordana, która polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy, zgodnie ze schematem \[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A
Wzór na macierz odwrotną
do obliczenia macierzy odwrotnej możemy użyć następującego wzoru:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(A^D\big)^T=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn}\end{bmatrix}^T\]
gdzie \(|A|\) jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast \(D_{ij}\) są dopełnieniami algebraicznymi elementów \(a_{ij}\) macierzy A.
Macierz \(A^D\) nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.
Wzór na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]
Przykład
\[\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2\cdot 1-0\cdot 3}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\]
Zapamiętaj najważniejsze własności macierzy odwrotnej
\[\big(A^{-1}\big)^{-1}=A\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]\[\big(A^{T}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^T\]\[diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)^{-1}=diag\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\ldots,\frac{1}{d_n}\right), \,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,d_1\neq 0,\,d_2\neq 0,\ldots,d_n\neq 0\]
Dopełnienia algebraiczne
Załóżmy, że \(A=[a_{ij}]\) jest macierzą kwadratową stopnia \(n\ge 2\).
Dopełnieniem algebraicznym elementu \(a_{ij}\) macierzy A nazywamy liczbę:
\[D_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}\]
gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A, np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.
Wyznacznik macierzy \(A_{ij}\), czyli \(\det A_{ij}\) nazywa się minorem.
Komentarzy (2)
"usuwając", a nie "usówając" :)