Treść zadania

Oblicz iloczyn kartezjański zbiorów \(A\times B\) oraz \(B\times A\), gdzie:

(a) \(A=\{0\},\,B=\{1\}\)
(b) \(A=\{1,2,3\},\,\,B=\{3,4\}\)

Czy \(A\times B=B\times A\)?

Rozwiązanie

Iloczyn kartezjański to zbiór zawierający pary uporządkowane elementów ze zbiorów A i B:

\[A\times B=\{(x,y):\,x\in A\wedge y\in B\}\]

Ad. (a)

Zbiory A i B są jednoelementowe, więc iloczyn kartezjański zawiera tylko jedną parę uporządkowaną:

\[A\times B=\{0\}\times \{1\}=\{(0,1)\}\]

\[B\times A=\{1\}\times \{0\}=\{(1,0)\}\]

Ad. (b)

Tworzymy wszystkie możliwe pary elementów ze zbiorów A i B:

\[A\times B=\{1,2,3\}\times \{3,4\}=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}\]

\[B\times A=\{3,4\}\times \{1,2,3\}=\{(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)\}\]

Jak widać w obu powyższych podpunktach, Iloczyn kartezjański nie jest przemienny, czyli:

\[A\times B\neq B\times A\]

Wskazówki

Aby wyznaczyć iloczyn kartezjański musisz wypisać wszystkie pary elementów ze zbioru A i B.

Zwróć przy tym uwagę na kolejność elementów (porządek), np. para liczb:

\[(0,1)\]

to nie to samo, co para:

\[(1,0)\]

Zbiory a nawiasy klamrowe

Nawiasy typu { i } oznaczają zbiór liczbowy złożony tylko z podanych elementów, np.

\[\{-11,5,9\}\]

to zbiór złożony tylko z liczb -11,5 i 9.

Zbiór:

\[\{-1,0,1,...\}\]

to zbiór złożony tylko z liczb całkowitych większych lub równych -1, czyli należą do niego np. liczby 5, 52, 418 itd.

Iloczyn kartezjański zbiorów - definicja

\[A\times B=\{(x,y):\,x\in A\wedge y\in B\}\]