Start 
Treść zadania
Wyznacz zbiór potęgowy zbioru A, gdzie:
(a) \(A=\{0\}\)
(b) \(A=\emptyset\)
(c) \(A=\{1,2,3\}\)
Ile elementów ma zbiór potęgowy zbioru skończonego?
Rozwiązanie
Zbiór potęgowy zbioru A (ozn. \(2^A\), \(P(A)\) lub \(S(A)\)) to zbiór zawierający wszystkie jego podzbiory (czyli zbiory zawierające się w sensie inkluzji \(\subseteq\) w zbiorze A).
\[2^A=\{X:\,X\subseteq A\}\]
Ad. (a)
Zbiór złożony z jednego elementu ma dwa podzbiory:
\[\emptyset \subset \{0\},\,\,\{0\}\subset \{0\}\]
Zatem zbiór potęgowy jest następujący:
\[2^A=\{\emptyset,\{0\}\}\]
Ad. (b)
Zbiór pusty ma tylko jeden podzbiór (zbiór pusty):
\[\emptyset \subset \emptyset\]
zatem:
\[2^A=\{\emptyset\}\]
Ad. (c)
Nasz zbiór ma następujące podzbiory:
zbiór pusty
\[\emptyset \subset \{1,2,3\}\]
podzbiory jednoelementowe:
\[\{1\} \subset \{1,2,3\}\]
\[\{2\} \subset \{1,2,3\}\]
\[\{3\} \subset \{1,2,3\}\]
podzbiory dwuelementowe:
\[\{1,2\} \subset \{1,2,3\}\]
\[\{1,3\} \subset \{1,2,3\}\]
\[\{2,3\} \subset \{1,2,3\}\]
sam zbiór A jest swoim własnym podzbiorem:
\[\{1,2,3\} \subset \{1,2,3\}\]
Zatem:
\[2^A=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}\]
Zbiór potęgowy zbioru A o skończonej liczbie elementów posiada dokładnie:
\[2^{|A|}\,\, \textrm{elementów}\]
gdzie \(|A|\) to liczność zbioru A (liczba jego elementów).
Wskazówki
Aby wyznaczyć zbiór potęgowy \(2^A\) musisz wypisać wszystkie podzbiory zbioru A.
Nie zapomnij, że (zawsze) zbiór pusty \(\emptyset\) oraz cały zbiór A też są podzbiorami zbioru A (zawierają się w nim):
\[\emptyset \subset A,\,\,A\subset A\]
Co oznaczają nawiasy klamrowe { i } w przypadku zbiorów?
Nawiasy typu { i } oznaczają zbiór liczbowy złożony tylko z podanych elementów, np.
\[\{-1,5,7\}\]
to zbiór złożony tylko z liczb -1,5 i 7.
Zbiór:
\[\{-2,-1,0,1,...\}\]
to zbiór złożony tylko z liczb całkowitych większych lub równych -2, czyli należą do niego np. liczby 5, 52, 418 itd.
Zbiór potęgowy - definicja
\[2^A=\{X:\,X\subseteq A\}\]
Komentarzy (0)