W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Treść zadania

Wyznacz zbiór potęgowy zbioru A, gdzie:

(a) \(A=\{0\}\)
(b) \(A=\emptyset\)
(c) \(A=\{1,2,3\}\)

Ile elementów ma zbiór potęgowy zbioru skończonego?

Rozwiązanie

Zbiór potęgowy zbioru A (ozn. \(2^A\), \(P(A)\) lub \(S(A)\)) to zbiór zawierający wszystkie jego podzbiory (czyli zbiory zawierające się w sensie inkluzji \(\subseteq\) w zbiorze A).

\[2^A=\{X:\,X\subseteq A\}\]

Ad. (a)

Zbiór złożony z jednego elementu ma dwa podzbiory:

\[\emptyset \subset \{0\},\,\,\{0\}\subset \{0\}\]

Zatem zbiór potęgowy jest następujący:

\[2^A=\{\emptyset,\{0\}\}\]

Ad. (b)

Zbiór pusty ma tylko jeden podzbiór (zbiór pusty):

\[\emptyset \subset \emptyset\]

zatem:

\[2^A=\{\emptyset\}\]

Ad. (c)

Nasz zbiór ma następujące podzbiory:

zbiór pusty

\[\emptyset \subset \{1,2,3\}\]

podzbiory jednoelementowe:

\[\{1\} \subset \{1,2,3\}\]

\[\{2\} \subset \{1,2,3\}\]

\[\{3\} \subset \{1,2,3\}\]

podzbiory dwuelementowe:

\[\{1,2\} \subset \{1,2,3\}\]

\[\{1,3\} \subset \{1,2,3\}\]

\[\{2,3\} \subset \{1,2,3\}\]

sam zbiór A jest swoim własnym podzbiorem:

\[\{1,2,3\} \subset \{1,2,3\}\]

Zatem:

\[2^A=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}\]

Zbiór potęgowy zbioru A o skończonej liczbie elementów posiada dokładnie:

\[2^{|A|}\,\, \textrm{elementów}\]

gdzie \(|A|\) to liczność zbioru A (liczba jego elementów).

Wskazówki

Aby wyznaczyć zbiór potęgowy \(2^A\) musisz wypisać wszystkie podzbiory zbioru A.

Nie zapomnij, że (zawsze) zbiór pusty \(\emptyset\) oraz cały zbiór A też są podzbiorami zbioru A (zawierają się w nim):

\[\emptyset \subset A,\,\,A\subset A\]

Co oznaczają nawiasy klamrowe { i } w przypadku zbiorów?

Nawiasy typu { i } oznaczają zbiór liczbowy złożony tylko z podanych elementów, np.

\[\{-1,5,7\}\]

to zbiór złożony tylko z liczb -1,5 i 7.

Zbiór:

\[\{-2,-1,0,1,...\}\]

to zbiór złożony tylko z liczb całkowitych większych lub równych -2, czyli należą do niego np. liczby 5, 52, 418 itd.

Zbiór potęgowy - definicja

\[2^A=\{X:\,X\subseteq A\}\]

 

Komentarzy (0)