W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Sprawdź, czy zbiory A i B są rozłączne:

A - zbiór wszystkich trójkątów prostokątnych leżących na płaszczyźnie x0y

B - zbiór wszystkich trójkątów równobocznych leżących na płaszczyźnie x0y

Rozwiązanie

Zbiory A i B są rozłączne, gdy ich część wspólna jest zbiorem pustym \(\emptyset\):

\[A\cap B=\emptyset\]

Innymi słowy, nie istnieje żaden element, który należy jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.

Zauważmy, że dla każdego trójkąta prostokątnego (który jest elementem zbioru A) o bokach długości a,b i c, na mocy twierdzenia Pitagorasa spełniona jest zależność między bokami:

\[a^2+b^2=c^2\]

Z powyższej zależności wynika, że:

\[a^2<a^2+b^2=c^2\]

\[a^2<c^2\]

stąd

\[a<c\]

Powtarzając rozumowanie dla boku długości b, mamy:

\[b<c\]

Widać więc, że żaden trójkąt równoboczny (który jest elementem zbioru B) nie może być jednocześnie trójkątem prostokątnym.

Zatem zbiory A i B są rozłączne.

Wskazówki

Przekrój zbiorów - definicja

Element należy do części wspólnej dwóch zbiorów (przekroju), wtedy i tylko wtedy, gdy należy jednocześnie do pierwszego jak i drugiego zbioru:

\[A\cap B=\{x:\,x\in A\,\,\wedge \,\,x\in B\}\]

 

Komentarzy (0)