Start 
Sprawdź, czy zbiory A i B są rozłączne:
A - zbiór wszystkich trójkątów prostokątnych leżących na płaszczyźnie x0y
B - zbiór wszystkich trójkątów równobocznych leżących na płaszczyźnie x0y
Rozwiązanie
Zbiory A i B są rozłączne, gdy ich część wspólna jest zbiorem pustym \(\emptyset\):
\[A\cap B=\emptyset\]
Innymi słowy, nie istnieje żaden element, który należy jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.
Zauważmy, że dla każdego trójkąta prostokątnego (który jest elementem zbioru A) o bokach długości a,b i c, na mocy twierdzenia Pitagorasa spełniona jest zależność między bokami:
\[a^2+b^2=c^2\]
Z powyższej zależności wynika, że:
\[a^2<a^2+b^2=c^2\]
\[a^2<c^2\]
stąd
\[a<c\]
Powtarzając rozumowanie dla boku długości b, mamy:
\[b<c\]
Widać więc, że żaden trójkąt równoboczny (który jest elementem zbioru B) nie może być jednocześnie trójkątem prostokątnym.
Zatem zbiory A i B są rozłączne.
Wskazówki
Przekrój zbiorów - definicja
Element należy do części wspólnej dwóch zbiorów (przekroju), wtedy i tylko wtedy, gdy należy jednocześnie do pierwszego jak i drugiego zbioru:
\[A\cap B=\{x:\,x\in A\,\,\wedge \,\,x\in B\}\]
Komentarzy (0)