Start 
Sprawdź, czy wektory są równoległe
\[\vec{u}=[1,2,3],\,\,\vec{v}=\left[2,4,6\right]\]
Rozwiązanie
Sposób I
Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, gdy różnią się tylko zwrotem i/lub długością.
W języku matematyki oznacza to, że istnieje rzeczywista liczba \(k\), taka, że \(\vec{u}=k\cdot \vec{v}\):
\[\vec{u}\parallel \vec{v}\,\,\Leftrightarrow\,\,\vec{u}=k\cdot \vec{v},\,\,\,k\in\mathbb{R}\]
Sprawdźmy, czy w przypadku naszych wektorów istnieje taka stała:
\[\vec{u}=k\cdot \vec{v}\]
\[[1,2,3]=k\cdot [2,4,6]\]
\[[1,2,3]=[2k,4k,6k]\]
Porównując współrzędne obu wektorów otrzymujemy układ równań:
\[\left\{\begin{array}{l}1=2k\\2=4k\\3=6k\end{array}\right.\]
Rozwiązaniem tego układu równań jest:
\[k=\frac{1}{2}\]
Zatem wektory \(\vec{u}=[1,2,3]\) i \(\vec{v}=[2,4,6]\) są równoległe.
Sposób II
Wektory są równoległe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu:
\[\vec{u}\parallel \vec{v}\,\,\Leftrightarrow\,\,\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}\]
Liczymy iloczyn wektorowy za pomocą wyznacznika macierzy:
\[\vec{u}\times \vec{v}=[1,2,3]\times [2,4,6]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&4&6\end{array}\right|\]
gdzie \(\vec{i}=[1,0,0]\), \(\vec{j}=[0,1,0]\), \(\vec{k}=[0,0,1]\) są wersorami jednostkowymi.
Do obliczenia wyznacznika możemy zastosować metodę Sarrusa:
\[\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&4&6\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}\vec{i}& \vec{j}\\1&2\\2&4\end{array}\right|=\]
\[=\vec{i}\cdot 2\cdot 6+\vec{j}\cdot 3\cdot 2+\vec{k}\cdot 1\cdot 4-2\cdot 2 \cdot \vec{k}-3\cdot 4\cdot \vec{i}-1\cdot 6\cdot \vec{j}=\]
\[=0\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}=[0,0,0]=\vec{0}\]
Odp. Iloczyn wektorowy \(\vec{u}\times \vec{v}\) jest równy wektorowi zerowemu, więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.
Wskazówki
Jak obliczyć iloczyn wektorowy?
Jeżeli:
\[\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\]
\[\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\]
to iloczyn wektorowy wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) jest równy:
\[\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3 b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=\]
\[=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]\]
Równoległość wektorów
Wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) są równoległe, gdy istnieje \(k\in\mathbb{R}\) takie, że:
\[\vec{a}=k\cdot \vec{b}\]
lub gdy ich iloczyn wektorowy jest równy zero (wektorowi zero):
\[\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\]
Komentarzy (3)