W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Sprawdź, czy wektory są równoległe

\[\vec{u}=[1,2,3],\,\,\vec{v}=\left[2,4,6\right]\]

Rozwiązanie

Sposób I

Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, gdy różnią się tylko zwrotem i/lub długością.

W języku matematyki oznacza to, że istnieje rzeczywista liczba \(k\), taka, że \(\vec{u}=k\cdot \vec{v}\):

\[\vec{u}\parallel \vec{v}\,\,\Leftrightarrow\,\,\vec{u}=k\cdot \vec{v},\,\,\,k\in\mathbb{R}\]

Sprawdźmy, czy w przypadku naszych wektorów istnieje taka stała:

\[\vec{u}=k\cdot \vec{v}\]

\[[1,2,3]=k\cdot [2,4,6]\]

\[[1,2,3]=[2k,4k,6k]\]

Porównując współrzędne obu wektorów otrzymujemy układ równań:

\[\left\{\begin{array}{l}1=2k\\2=4k\\3=6k\end{array}\right.\]

Rozwiązaniem tego układu równań jest:

\[k=\frac{1}{2}\]

Zatem wektory \(\vec{u}=[1,2,3]\) i \(\vec{v}=[2,4,6]\) są równoległe.

Sposób II

Wektory są równoległe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu:

\[\vec{u}\parallel \vec{v}\,\,\Leftrightarrow\,\,\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}\]

Liczymy iloczyn wektorowy za pomocą wyznacznika macierzy:

\[\vec{u}\times \vec{v}=[1,2,3]\times [2,4,6]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&4&6\end{array}\right|\]

gdzie \(\vec{i}=[1,0,0]\), \(\vec{j}=[0,1,0]\), \(\vec{k}=[0,0,1]\) są wersorami jednostkowymi.

Do obliczenia wyznacznika możemy zastosować metodę Sarrusa:

\[\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&4&6\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}\vec{i}& \vec{j}\\1&2\\2&4\end{array}\right|=\]

\[=\vec{i}\cdot 2\cdot 6+\vec{j}\cdot 3\cdot 2+\vec{k}\cdot 1\cdot 4-2\cdot 2 \cdot \vec{k}-3\cdot 4\cdot \vec{i}-1\cdot 6\cdot \vec{j}=\]

\[=0\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}=[0,0,0]=\vec{0}\]

Odp. Iloczyn wektorowy \(\vec{u}\times \vec{v}\) jest równy wektorowi zerowemu, więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.

Wskazówki

Jak obliczyć iloczyn wektorowy?

Jeżeli:

\[\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\]

\[\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\]

to iloczyn wektorowy wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) jest równy:

\[\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3 b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=\]

\[=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]\]

Równoległość wektorów

Wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) są równoległe, gdy istnieje \(k\in\mathbb{R}\) takie, że:

\[\vec{a}=k\cdot \vec{b}\]

lub gdy ich iloczyn wektorowy jest równy zero (wektorowi zero):

\[\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\]

Komentarzy (0)