W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz iloczyn wektorowy wektorów

\[\vec{u}=[-1,3,2],\,\,\vec{v}=\left[-1,2,-5\right]\]

Rozwiązanie

Iloczyn wektorowy liczymy za pomocą wyznacznika macierzy:

\[\vec{u}\times \vec{v}=[-1,3,2]\times [-1,2,-5]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&3&2\\-1&2&-5\end{array}\right|\]

gdzie \(\vec{i}=[1,0,0]\), \(\vec{j}=[0,1,0]\), \(\vec{k}=[0,0,1]\) są wersorami jednostkowymi.

Do obliczenia wyznacznika możemy zastosować metodę Sarrusa:

\[\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&3&2\\-1&2&-5\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}\vec{i}& \vec{j}\\-1&3\\-1&2\end{array}\right|=\]

\[=\vec{i}\cdot 3\cdot (-5)+\vec{j}\cdot 2\cdot (-1)+\vec{k}\cdot (-1)\cdot 2-(-1)\cdot 3 \cdot \vec{k}-2\cdot 2\cdot \vec{i}-(-5)\cdot (-1)\cdot \vec{j}=\]

\[=-19\vec{i}-7\vec{j}+\vec{k}=-19\cdot [1,0,0]-7\cdot [0,1,0]+[0,0,1]=[-19,-7,1]\]

Odp. Iloczyn wektorowy \(\vec{u}\times \vec{v}\) wynosi \([-19,-7,1]\).

Na koniec możemy sprawdzić wynik iloczynu wektorowego na stronie wolframalpha.com.

Wskazówki

Iloczyn wektorowy

Jeżeli:

\[\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\]

\[\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\]

to iloczyn wektorowy wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) jest równy:

\[\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3 b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=\]

\[=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]\]

Wersory jednostkowe

to wektory długości 1, które oznaczamy \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\). Wersory są następujące:

\[\vec{i}=[1,0,0]\]

\[\vec{j}=[0,1,0]\]

\[\vec{k}=[0,0,1]\]

Komentarzy (0)