W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz kąt między wektorami

\[\overline{u}=[-2,1,2],\,\,\overline{v}=\left[0,1,1\right]\]

Rozwiązanie

Kąt między wektorami obliczymy korzystając ze wzoru:

\[\vec{u}\circ \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}| \cos \measuredangle (\vec{u},\vec{v})\]

gdzie \(\vec{u}\circ \vec{v}\) oznacza iloczyn skalrany wektorów, \(|\vec{u}|,\,|\vec{v}|\) to długości wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), natomiast \(\measuredangle (\vec{u},\vec{v})\) to kąt między wektorami.

Po przekształceniu tego wzoru otrzymujemy:

\[(*)\,\,\,\measuredangle (\vec{u},\vec{v})=\arccos\left(\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}\right)\]

Liczymy iloczyn skalarny wektorów:

\[\vec{u}\circ \vec{v}=[-2,1,2]\circ \left[0,1,1\right]=\]

\[=(-2)\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 1=1+2=3\]

Liczymy długości wektorów:

\[|\vec{u}|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=3\]

\[|\vec{v}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]

Podstawiamy wyliczone wartości do wzoru \((*)\):

\[\measuredangle (\vec{u},\vec{v})=\arccos\left(\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}\right)=\arccos\left(\frac{3}{3\sqrt{2}}\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}=45^o\]

Odp. Kąt między wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) wynosi \(\frac{\pi}{4}\), czyli \(45^o\).

Wskazówki

Iloczyn skalarny wektorów

Jeżeli:

\[\overline{a}=[a_1,a_2,...,a_n]\]

\[\overline{b}=[b_1,b_2,...,b_n]\]

to iloczyn skalarny wektorów \(\overline{a}\) i \(\overline{b}\) jest równy:

\[\overline{a}\circ \overline{b}=[a_1,a_2,...,a_n]\circ [b_1,b_2,...,b_n]=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+...+a_n\cdot b_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k\cdot b_k\]

Komentarzy (0)