W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach

\[\vec{a}=[1,2,3],\,\,\vec{b}=\left[3,2,-1\right]\]

Rozwiązanie

Z definicji iloczynu wektorowego wiemy, że długość wektora \(\vec{v}=\vec{a}\times \vec{b}\) jest równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).

Liczymy iloczyn wektorowy:

\[\vec{u}\times \vec{v}=[1,2,3]\times [3,2,-1]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\3&2&-1\end{array}\right|\]

gdzie \(\vec{i}=[1,0,0]\), \(\vec{j}=[0,1,0]\), \(\vec{k}=[0,0,1]\) są wersorami jednostkowymi.

Wyznacznik obliczymy stosując regułę Sarrusa:

\[\vec{v}=\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\3&2&-1\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}\vec{i}& \vec{j}\\1&2\\3&2\end{array}\right|=\]

\[=\vec{i}\cdot 2\cdot (-1)+\vec{j}\cdot 3\cdot 3+\vec{k}\cdot 1\cdot 2-2\cdot 3 \cdot \vec{k}-3\cdot 2\cdot \vec{i}-1\cdot (-1)\cdot \vec{j}=\]

\[=-8\vec{i}+10\vec{j}-4\vec{k}=[-8,10,-4]\]

Zatem:

\[\vec{v}=[-8,10,-4]\]

Obliczamy teraz długość wektora \(\vec{v}\):

\[|\vec{v}|=\sqrt{(-8)^2+10^2+(-4)^2}=\sqrt{64+100+16}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\]

Odp. Pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{a}=[1,2,3]\) i \(\vec{b}=[3,2,-1]\) jest równe \(6\sqrt{5}\).

Wskazówki

Iloczyn wektorowy - wzór

Jeżeli:

\[\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\]

\[\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\]

to iloczyn wektorowy wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) jest równy:

\[\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3 b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=\]

\[=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]\]

Pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\)

Liczymy ze wzoru:

\[P=|\vec{a}\times \vec{b}|\]

gdzie \(|\vec{a}\times \vec{b}|\) oznacza długość wektora równego iloczynowi wektorowemu wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).

Komentarzy (0)