W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z reguły de L'Hospitala udowodnij, że

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}=1\]

Rozwiązanie

Do obliczenia granicy stosujemy regułę de L'Hospitala, w tym celu liczymy pochodne funkcji stojących w liczniku i mianowniku:

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0} \frac{(\ln(x+1))'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=\frac{1}{0+1}=1\]

Wskazówki

W rozwiązaniu korzystamy z reguły de L'Hospitala (piszemy wtedy duże H nad znakiem równości, tak jak w rozwiązaniu przykładu)

W rozwiązaniu korzystamy również z wzoru:

\[(\ln (x+1))'=\frac{1}{x+1}\]

Raguła de L'Hospitala - teoria

Jeżeli\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]istnieją pochodne f'(x) i g'(x) (w otoczeniu punktu \(x_0\)) oraz istnieje granica\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]to\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

UWAGA 1: Reguła de L'Hospitala "działa" też dla granic jednostronnych.

UWAGA 2: Reguła de L'Hospitala "NIE DZIAŁA" dla innych symboli nieoznaczonych, tj. \([\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\)

Jak przekształcać symbole nieoznaczone, aby uzyskać \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)?

Regułę de L'Hospitala możesz stosować jedynie w przypadku symboli nieoznaczonych:

\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]

a, co zrobić, gdy pojawią się inne wyrażenia nieoznaczone, takie jak:

\[[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]

wystarczy wtedy zastosować poniższe przekształcenia do symboli nieoznaczonych \(\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), dla których można już spokojnie zastosować regułę de L'Hospitala:

1. Gdy \(f\cdot g\to\left[0\cdot \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f\cdot g=\frac{f}{\frac{1}{g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\).

2. Gdy \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}=\frac{g\pm f}{f\cdot g}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).

3. Gdy \(f-g\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f-g=\frac{\frac{1}{g}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).

4. Gdy \(f^g\to\left[1^\infty\right]\) lub \([0^\infty]\) lub \([0^0]\), to możemy zastosować tożsamość \(f^g=e^{g\ln f}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(0\cdot \infty\), który dalej można przekształcić do symbolu \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) (patrz punk 1).

Jak radzić sobie z granicami niewłaściwymi?

Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0^+}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

 

Komentarzy (0)