W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić, że

\[\lim\limits_{x\to \infty}(\sin x-e^x)=-\infty\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\):

\[\sin x-e^x\le 1-e^x\]

ponieważ \(\sin x\le 1\) dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\).
Mamy:

\[\lim\limits_{x\to \infty}(1-e^x)=-\infty\]

Zatem z twierdzenia o dwóch funkcjach

\[\lim\limits_{x\to \infty}(\sin x-e^x)=-\infty\]

Wskazówki

Twierdzenie o dwóch funkcjach

Jeżeli funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) spełniają warunki:\[f(x)\le g(x),\,\,\,dla\,\,\,x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\]oraz\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\]to\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty\]

UWAGA 1: Twierdzenie o dwóch funkcjach jest prawdziwe również dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności. Prawdziwe są też analogiczne twierdzenia dla granicy niewłaściwej funkcji równej \(-\infty\).

UWAGA 2: Twierdzenie o 2 funkcjach stosuje się przy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują funkcje ograniczone przez inne funkjce (lub liczby) oraz funkcje, których granice nie istnieją.

Komentarzy (0)