W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Sprawdź, czy przy \(x\to 1\) istnieje granica funkcji

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&,\,\,\textrm{gdy}&x<1\\x+1&,\,\,\textrm{gdy}&x\ge 1\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Obliczmy granice jednostronne przy \(x\to 1^-\) i \(x\to 1^+\) i sprawdźmy czy są sobie równe:

Krok 1

Liczymy granicę lewostronną przy \(x\to 1^-\):

\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}x=1\]

ponieważ \(f(x)=x\), gdy \(x<1\)

Ktok 2

Liczymy granicę prawostronną przy \(x\to 1^+\):

\[\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2\]

ponieważ \(f(x)=x+1\), gdy \(x\ge 1\)

Krok 3

\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1\neq 2=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\]

zatem granica funkcji \(f(x)\) przy \(x\to 1\) nie istnieje

Wskazówki

Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?

Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań:

1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istnieje

Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)=g\]wówczas piszemy\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]

2. W zadaniach typu "Wykaż, że granica funkcji nie istnieje" możesz wykorzystać następujący fakt:

Jeżeli istnieją ciągi \(x_n\neq x_0\) oraz \(y_n\neq x_0\) spełniające warunki \(x_n\to x_0\), \(y_n\to x_0\) oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\neq \lim\limits_{n\to \infty} f(y_n)\]to granica funkcji \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) nie istnieje.

Komentarzy (0)