Start 
Sprawdź, czy przy \(x\to 1\) istnieje granica funkcji
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&,\,\,\textrm{gdy}&x<1\\x+1&,\,\,\textrm{gdy}&x\ge 1\end{array}\right.\]
Rozwiązanie
Obliczmy granice jednostronne przy \(x\to 1^-\) i \(x\to 1^+\) i sprawdźmy czy są sobie równe:
Krok 1
Liczymy granicę lewostronną przy \(x\to 1^-\):
\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}x=1\]
ponieważ \(f(x)=x\), gdy \(x<1\)
Ktok 2
Liczymy granicę prawostronną przy \(x\to 1^+\):
\[\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2\]
ponieważ \(f(x)=x+1\), gdy \(x\ge 1\)
Krok 3
\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1\neq 2=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\]
zatem granica funkcji \(f(x)\) przy \(x\to 1\) nie istnieje
Wskazówki
Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?
Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań:
1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istnieje
Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)=g\]wówczas piszemy\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]
2. W zadaniach typu "Wykaż, że granica funkcji nie istnieje" możesz wykorzystać następujący fakt:
Jeżeli istnieją ciągi \(x_n\neq x_0\) oraz \(y_n\neq x_0\) spełniające warunki \(x_n\to x_0\), \(y_n\to x_0\) oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\neq \lim\limits_{n\to \infty} f(y_n)\]to granica funkcji \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) nie istnieje.
Komentarzy (0)