Start 
Korzystając z reguły de L'Hospitala uzasadnij, że dla każdej funkcji różniczkowalnej f(x)
\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1,\,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\]
Rozwiązanie
Korzystając z założeń, że funkcja f(x) jest różniczkowalna (jej pochodna istnieje), \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\) oraz z reguły de L'Hospitala, mamy:
\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\big(f(x)\big)}{f(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0} \frac{f'(x)\cdot \cos\big(f(x)\big)}{f'(x)}=\lim\limits_{x\to 0} \cos\big(f(x)\big)=\cos(0)=1\]
Wskazówki
Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
\[\big[f(g(x))\big]'=f'(x)\cdot g'(f(x))\]
stąd \((\sin (f(x)))'=f'(x)\cdot \cos(f(x))\).
Reguła de L'Hospitala
Jeżeli\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]istnieją pochodne f'(x) i g'(x) (w otoczeniu punktu \(x_0\)) oraz istnieje granica\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]to\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
UWAGA 1: Reguła de L'Hospitala "działa" też dla granic jednostronnych.
UWAGA 2: Reguła de L'Hospitala "NIE DZIAŁA" dla innych symboli nieoznaczonych, tj. \([\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\)
Komentarzy (0)