W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z definicji Heinego granicy uzasadnij, że

\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg \(x_n\) taki, że:

  1. \(x_n\in (-R,0)\cup (0,R)\), dla pewnego \(R>0\) oraz 
  2. \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\),

np. \(x_n=\frac{1}{n}\) lub \(x_n=\frac{1}{n^2}\) oraz \(f(x)=x\), wtedy:

\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\]

zatem \(\lim\limits_{x\to 0} x=0\).

 

Wskazówki

Definicja Heinego granicy

Definicja jest taka sama w przypadku granicy właściwej i niewłaściwej (czyli gdy granica \(g\) jest liczbą lub nieskończonością):

Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).

Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\) (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczbowego \(x_n\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:

\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\,\,\Rightarrow\,\,\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=g\]

gdzie \(g\) jest liczbą rzeczywistą lub \(\pm \infty\).

Komentarzy (0)