Start 
Korzystając z definicji Heinego granicy uzasadnij, że
\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]
Rozwiązanie
Weźmy dowolny ciąg \(x_n\) taki, że:
- \(x_n\in (-R,0)\cup (0,R)\), dla pewnego \(R>0\) oraz
- \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\),
np. \(x_n=\frac{1}{n}\) lub \(x_n=\frac{1}{n^2}\) oraz \(f(x)=x\), wtedy:
\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\]
zatem \(\lim\limits_{x\to 0} x=0\).
Wskazówki
Definicja Heinego granicy
Definicja jest taka sama w przypadku granicy właściwej i niewłaściwej (czyli gdy granica \(g\) jest liczbą lub nieskończonością):
Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).
Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\) (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczbowego \(x_n\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:
\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\,\,\Rightarrow\,\,\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=g\]
gdzie \(g\) jest liczbą rzeczywistą lub \(\pm \infty\).
Komentarzy (0)