Start 
Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że
\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty\]
Rozwiązanie
Ustalmy \(\epsilon>0\) i weźmy \(0<\delta<\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\), np. \(\delta=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}\).
W naszym przypadku mamy \(x_0=0\).
Niech \(|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta\), wtedy:
\[\left|\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{|x|^2}>\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\]
ponieważ \(\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}\), gdy \(|x|<\delta\) oraz \(\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\), gdy \(\delta<\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\).
Zatem \(\left|\frac{1}{x^2}\right|>\epsilon\), a więc \(\frac{1}{x^2}\to +\infty\), gdy \(x\to 0\).
Na poniższym rysunku widać, że funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) "ucieka" do \(+\infty\) i nigdy nie dotknie osi OY,
co więcej dla \(|x-x_0|<\delta\) mamy \(|f(x)|>\epsilon\):
Wskazówki
Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).
Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(\pm\infty\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:
\[|x-x_0|<\delta\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|f(x)|>\epsilon\]
którą należy rozumieć następująco: jeżeli \(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta)\), to wartość funkcji \(f(x)\) jest większa od \(\epsilon>0\) (wartość jest dowolnie duża).
Komentarzy (0)