Podaj przykład funkcji określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych, która jest nieciągła w punktach 1 i 2

Rozwiązanie

Przykłady funkcji określonych na całym \(\mathbb{R}\) i nieciągłych w kilku punktach można łatwo konstruować sklejając kilka funkcji ze sobą.

Przykładem funkcji, której dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste i która jest nieciągła w punktach \(x=1\) i \(x=2\) jest następująca funkcja sklejona z 3 funkcji:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1&\textrm{dla}\,\,\, x<1\\2&\textrm{dla}\,\,\, 1\ge x\le 2\\3&\textrm{dla}\,\,\, x\ge 2\end{array}\right.\]

Na poniższym wykresie widać, że funkcja \(f(x)\) nie jest ciągła w punktach \(x=1\) i \(x=2\):

Wskazówki

Funkcja ciągła - teoria

Funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\), gdy spełniony jest warunek

\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Które funkcje są ciągłe?

Ciągłe (w swoich dziedzinach) są wszystkie funkcje elementarne (czyli takie, które da się zapisać wzorem):

wielomiany, np. \(f(x)=5, f(x)=x, f(x)=3x^3-7x^2+2\)
funkcje wymierne postaci \(\frac{f(x)}{g(x)}\), gdzie f(x) i g(x) są wielomianami
funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x, a>0\)
funkcja potęgowa \(f(x)=x^a\), np. \(f(x)=\sqrt{x}\)
funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a(x),\, a>0,\, a\neq 1\)
funkcje trygonometryczne: sinx, cosx, tgx i ctgx
funkcje cyklometryczne: arcsinx, arccosx, arctgx i arcctgx

Własności funkcji ciągłych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe, to funkcje

\(f(x)+g(x)\) - suma funkcji
\(f(x)-g(x)\) - różnica funkcji
\(f(x)g(x)\) - iloczyn funkcji
\(\frac{f(x)}{g(x)}\) - iloraz funkcji
\(f(g(x))\) - złożenie funkcji (superpozycja)

też są ciągłe (w swoich dziedzinach).