Wykaż, że funkcja:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2&\textrm{dla}\,\,x< 0\\ 0& \textrm{dla}\,\,x=0\\-x+2&\textrm{dla}\,\,x>0\end{array}\right.\]

nie jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Rozwiązanie

Wystarczy pokazać, że:

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)\neq f(0)\]

Aby obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\) musimy policzyć granice jednostronne, ponieważ wzór funkcji jest inny dla \(x<0\) i \(x>0\) (wzór jest inny w lewostronnym i prawostronnym otoczeniu punktu \(x=0\)).

Liczymy granicę lewostronną:

\[\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(x+2)=0+2=2\]

i granicę prawostronną:

\[\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(-x+2)=0+2=2\]

Zatem:

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=2\]

Widzimy więc, że funkcja nie jest ciągła w punkcie \(x_0=0\), ponieważ:

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=2\neq 0=f(0)\]

Na koniec wykres funkcji \(f(x)\), na którym widać, że funkcja nie jest ciągła w punkcie \(x_0=0\):

Wskazówki

Definicja funkcji ciągłej

Funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\), gdy spełniony jest warunek

\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Klasy funkcji ciągłych

Ciągłe (w swoich dziedzinach) są wszystkie funkcje elementarne (czyli takie, które da się zapisać wzorem):

wielomiany, np. \(f(x)=5, f(x)=x, f(x)=3x^3-7x^2+2\)
funkcje wymierne postaci \(\frac{f(x)}{g(x)}\), gdzie f(x) i g(x) są wielomianami
funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x, a>0\)
funkcja potęgowa \(f(x)=x^a\), np. \(f(x)=\sqrt{x}\)
funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a(x),\, a>0,\, a\neq 1\)
funkcje trygonometryczne: sinx, cosx, tgx i ctgx
funkcje cyklometryczne: arcsinx, arccosx, arctgx i arcctgx

Operacje na funkcjach ciągłych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe, to funkcje

\(f(x)+g(x)\) - suma funkcji
\(f(x)-g(x)\) - różnica funkcji
\(f(x)g(x)\) - iloczyn funkcji
\(\frac{f(x)}{g(x)}\) - iloraz funkcji
\(f(g(x))\) - złożenie funkcji (superpozycja)

też są ciągłe (w swoich dziedzinach).