Dla jakich wartości parametru a funkcja jest ciągła w punkcie x=4

Ciągłość funkcji - wzór funckji, zadanie 1

Rozwiązanie

Ciągłość funkcji - rozwiązanie zadania 1

Na koniec wykres funkcji \(f(x)\) (widać, że funkcja jest ciągła):

Przy liczeniu granicy korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

stąd:

\[(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})=2^2-(\sqrt{x})^2=4-x\]

\[(3-\sqrt{1+2x})(3+\sqrt{1+2x})=3^2-(\sqrt{1+2x})^2=9-(1+2x)=8-2x=2(4-x)\]

Warunek ciągłości funkcji

Funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\), gdy spełniony jest warunek

\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Jakie funkcje są ciągłe?

Ciągłe (w swoich dziedzinach) są wszystkie funkcje elementarne (czyli takie, które da się zapisać wzorem):

wielomiany, np. \(f(x)=5, f(x)=x, f(x)=3x^3-7x^2+2\)
funkcje wymierne postaci \(\frac{f(x)}{g(x)}\), gdzie f(x) i g(x) są wielomianami
funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x, a>0\)
funkcja potęgowa \(f(x)=x^a\), np. \(f(x)=\sqrt{x}\)
funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a(x),\, a>0,\, a\neq 1\)
funkcje trygonometryczne: sinx, cosx, tgx i ctgx
funkcje cyklometryczne: arcsinx, arccosx, arctgx i arcctgx

Własności funkcji ciągłych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe, to funkcje

też są ciągłe.