NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!


Podaj przykład funkcji posiadającej:

1. dwie asymptoty pionowe

2. dwie asymptoty poziome

Rozwiązanie

1. Funkcje posiadające dwie asymptoty pionowe muszą mieć conajmniej dwa punkty, które nie należą do ich dziedziny, np.:

\[f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}\]

Taka funkcja ma następującą dziedzinę:

\[D_f=\mathbb{R\setminus\{1,2\}}\]

i posiada dwie asymptoty pionowe o równaniach \(x=1\) i \(x=2\).

Poniżej wykres funkcji \(f(x)\) (na czerwono).
Asymptoty funkcji zaznaczone są kolorem niebieskim:

 

Jak skonstruować inne przykłady funkcji mających dwie asymptoty pionowe? Oto sposób, wystarczy wybrać liczby \(a\) i \(b\):

\[f(x)=\frac{1}{(x-a)(x-b)}\]

gdzie \(a\neq b\) i \(a,b\in\mathbb{R}\).

Sprawdźmy istnienie asymptot pionowych dla powyższej klasy funkcji.

 W tym celu załóżmy, że \(a<b\) i obliczymy granice jednostronne przy \(x\to a^-\), \(x\to a^+\) oraz \(x\to b^-\), \(x\to b^+\):

\[\lim\limits_{x\to a^-}\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]

\[\lim\limits_{x\to a^+}\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty\]

\[\lim\limits_{x\to b^-}\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty\]

\[\lim\limits_{x\to b^+}\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]

Zatem rzeczywiście funkcja \(f(x)=\frac{1}{(x-a)(x-b)}\) ma asymptoty pionowe obustronne w punktach \(a=a\) i \(x=b\).

2. Funkcję posiadającą dwie asymptoty poziome skonstuujemy sklejając dwie różne funkcje (z których każda ma asymptotę poziomą), np.:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}&\,\textrm{dla}\,\,x<1\\ 2-\frac{1}{x}&\,\textrm{dla}\,\,x\ge 1\end{array}\right.\]

posiada dwie asymptoty poziome o równaniach \(y=0\) i \(y=2\).

Wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej (poziomej) w \(-\infty\):

\[a=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^2}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0\]

\[b=\lim\limits_{x\to -\infty}\big(f(x)-ax\big)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=\left[\frac{1}{-\infty}\right]=0\]

Mamy więc asymptotę poziomą w \(-\infty\) o równaniu \(y=ax+b=0\).

Wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej (poziomej) w \(+\infty\)

\[a=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=\left[\frac{2}{+\infty}-\frac{1}{+\infty}\right]=0-0=0\]

\[b=\lim\limits_{x\to +\infty}\big(f(x)-ax\big)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-\left[\frac{1}{-\infty}\right]=2-0=2\]

Mamy więc asymptotę poziomą w \(+\infty\) o równaniu \(y=ax+b=2\).

Poniżej wykres funkcji \(f(x)\) (na czerwono).
Asymptoty funkcji zaznaczone są kolorem niebieskim:

 

Wskazówki

Asymptoty pionowe

Są to proste zadne przez równanie postaci \(y=x_0\), gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji.

Istnienie asymptoty pionowej sprawdzamy licząc granice jednostronne w punktach leżących na "krańcach dziedziny":

\(\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)\)

gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji f(x).

Asymtoty poziome i ukośne

Są to proste zadane przez równanie postaci \(y=ax+b\).

Współczynniki a i b liczymy ze wzorów:

\[a=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\]

\[b=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left(f(x)-ax\right)\]

 

\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}

Komentarzy (0)