W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji

Asymptoty funkcji - zadanie 1

Rozwiązanie

W tego typu zadaniach zaczynamy zawsze od wyznaczenia dziedziny funkcji:

Asymptoty funkcji - rozwiązanie zadania 1a

Asymptoty funkcji - rozwiązanie zadania 1b

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=\frac{x^2+3x}{x+1}\) (na czerwono).
Wszystkie asymptoty funkcji zaznaczone są kolorem niebieskim:

 

Wskazówki

Asymptoty pionowe

Są to proste zadne przez równanie postaci \(y=x_0\), gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji.

Istnienie asymptoty pionowej sprawdzamy licząc granice jednostronne w punktach leżących na "krańcach dziedziny":

\(\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)\),

gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji f(x).

Asymtoty poziome i ukośne

Są to proste zadane przez równanie postaci \(y=ax+b\).

Współczynniki a i b liczymy ze wzorów:

\(a=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\),

\(b=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left(f(x)-ax\right)\).

 

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @aaaaas Policzmy:
    \[\frac{x^2+3x}{x+1}-x=\frac{x^2+3x}{x+1}-\frac{x(x+1)}{x+1}=\frac{x^2+3x-x^2-x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}\]
    więc wygląda na to, że wszystko jest policzone dobrze :-)
  • aaaaas
    skąd w wyliczaniu asymptoty ukośnej +oo, w punkcie b odejmując x zostaje 2x/x+1?