Wyznacz asymptoty funkcji

\[f(x)=\frac{1}{x}\]

Rozwiązanie

W tego typu zadaniach zaczynamy zawsze od wyznaczenia dziedziny funkcji. Mianownik musi być różny od zera, stąd:

\[x\neq 0\]

\[D_f=\mathbb{R}\setminus\,\{0\}\]

Asymptoty pionowej szukamy na końcach przedziałów określoności, czyli w tym przypadku w punkcie \(x=0\).

Liczymy granice jednostronne przy \(x\to 0\):

\[\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty\]

\[\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]

Zatem funkcja \(f(x)\) posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu \(x=0\).

Szukamy teraz asymptot ukośnych postaci \(y=ax+b\). Współczynniki \(a,b\in\mathbb{R}\) obliczymy ze wzorów:

\[a=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\]

\[b=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left(f(x)-ax\right)\]

Mamy

\[a=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x^2}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0\]

\[b=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left(f(x)-ax\right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty} \frac{1}{x}=\left[\frac{1}{\pm \infty}\right]=0\]

Zatem istnieje asymptota ukośna, a właściwie pozioma w \(-\) i \(+\infty\) o równaniu \(y=0\).

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\) (na czerwono).
Wszystkie asymptoty funkcji zaznaczone są kolorem niebieskim:

Wskazówki

Asymptoty pionowe

Są to proste zadane przez równanie postaci \(x=x_0\), gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji.

Istnienie asymptoty pionowej sprawdzamy licząc granice jednostronne w punktach leżących na "krańcach dziedziny":

\(\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)\)

gdzie \(x_0\) jest punktem nienależącym do dziedziny funkcji f(x).

Asymtoty poziome i ukośne

Są to proste zadane przez równanie postaci \(y=ax+b\).

Współczynniki a i b liczymy ze wzorów: