Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny

\[(a_n)=\left(-1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{9},-\frac{1}{27},...\right)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy następny wyraz naszego ciągu liczbowego jest trzy razy mniejszy od poprzedniego,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym \(\frac{1}{3}\).

Mamy:

\[a_1=-1,\,\,q=\frac{1}{3}\]

Stąd:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=(-1)\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=-\frac{1}{3^{n-1}}\]

Odp. Wyraz ogólny naszego ciągu jest postaci \(a_n=-\frac{1}{3^{n-1}}\)

Ciąg geometryczny

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]

stąd

\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\]

Każdy następny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę \(q\).

Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_k\cdot q^{n-k}\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

lub równoważnie

\[a^2_n={a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

Środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (n-ta suma):

\[S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\,\,q\neq 1\]

lub

\[S_n=n\cdot a_1,\,\,q=1\]

Ciąg geometryczny jest: