Start 
Zbadaj monotoniczność ciągu liczbowego
\[a_n=\frac{n}{2n+1}\]
Rozwiązanie
Sprawdzimy jaki znak ma wyrażenie \(a_{n+1}-a_n\) (różnica kolejnych wyrazów ciągu liczbowego).
Mamy:
\[a_n=\frac{n}{2n+1}\]
\[a_{n+1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}=\frac{n+1}{2n+2+1}=\frac{n+1}{2n+3}\]
stąd:
\[a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{2(n+1)+1}-\frac{n}{2n+1}=\]
\[=\frac{n+1}{2n+3}\cdot \frac{2n+1}{2n+1}-\frac{n}{2n+1}\cdot \frac{2n+3}{2n+3}=\frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}=\]
\[=\frac{2n(n+1)+n+1-2n^2-3n}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{2n^2+2n-2n^2-2n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}>0\]
zatem
\[a_{n+1}>a_n\]
co oznacza, że nasz ciąg liczbowy jest rosnący.
Wskazówki
Ciągi monotoniczne
Monotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub nierosnący.
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1<a_2<a_3<...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n< a_{n+1}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest niemalejący, gdy jego wyrazy zwiększają się lub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\le a_2\le a_3\le...\]czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le a_{n+1}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest malejący, gdy jego wyrazy zmniejszają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1>a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]
Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub malejący.
Jak sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?
Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n<0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\]Ciąg \((a_n)\) jest nierosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n\le 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]
Komentarzy (4)